Delucidazione integrazione con hermite

[duffyduck94]

Salve, vorrei dei chiarimenti sul metodo di integrazione di Hermite. Non riesco a capire quando è comodo utilizzare la formula della derivata rispetto a quella dei fratti semplici normali, così come non riesco a capire come si utilizza la formula della derivata. Qualcuno potrebbe spiegarmi Hermite con un esempio accostando la teoria all'esercizio?
Inoltre vorrei proporvi quest'esempio:
$int 2/(x^2-1)^2 dx $
dovrei cercare A, B, C, D $in$ R
con il metodo dei fratti semplici si dovrebbe fare:
$ A/(x+1) + B/(x+1)^2 + C/(x-1) +D/(x-1)^2$
Nella seconda frazione così come nella quarta, perché non dovrei fare :
$(Bx)/(x+1)^2$
inoltre,con la formula della derivata, come dovrei fare?

[Noisemaker]

Nel tuo caso l'applicazione di Hermite non è la strada più rapida ... è corretta la riduzone in fratti semplici:
\[\frac{A}{x − 1}+\frac{B}{(x − 1)^2}+\frac{C}{x+ 1}+\frac{D}{(x + 1)^2},\]
da cui
\begin{align}
\int\frac{1}{(x^2-1)^2}\,\,dx&=\int\frac{A}{x − 1}\,\,dx+\int\frac{B}{(x − 1)^2}\,\,dx+\int\frac{C}{x+ 1}\,\,dx+\int\frac{D}{(x + 1)^2}\,\,dx\\
&=....=\ln\left|\frac{x+1 }{1-x}\right|-\frac{x}{x^2-1}+c.
\end{align}
In generale, quando le radici complesse coniugate del denominatore di una funzione razionale sono multiple si può ricorrere alla regola di Hermite; supponiamo che il denominatore sia del tipo:
\begin{align*}
D(x)= (x-x_1)^{r_1}\cdot(x-x_2)^{r_2}\cdot....\cdot(x-x_h)^{r_h}\cdot(x^2+p_1x+q_1 )^{s_1}\cdot...\cdot(x^2+p_1x+q_1 )^{s_k}
\end{align*}
dove $r_1+r_2+...+r_h+2s_1+2s_2+...+2s_k=n,$ con $n$ del grado del denominatore: allora vale la seguente scomposizione:
\begin{align*}
\frac{N(x)}{D(x)}=\frac{A_1}{x-x_1}+...+\frac{A_h}{x-x_h}+\frac{B_1x+C_1}{x^2+p_1x+q_1}+...+\frac{B_kx+C_k}{x^2+p_kx+q_k}+\frac{d}{dx}\left( \frac{R(x)}{T(x)}\right),
\end{align*}
dove $R(x)$ è un generico polinomio di grado $n-r-2s;$ la regola per scrivere il termine dentro la derivata è in pratica la seguente: al denominatore si mettono tutti i fattori di $D(x)$ con molteplicità scalata di uno (in questo modo le radici semplici non contribuiscono) mentre al numeratore si mette un generico polnomio con grado minore di uno rispetto al denominatore appena costruito. In ogni caso, dopo aver eseguito la derivata dell'ultimo pezzo, ci si ritrova con un sistema di $n$ equazioni in $n$ incognite. Vediamo un esempio: sia da calcolare l'insieme delle primitive di:
\begin{align*}
\int\frac{dx}{x^2(x^4+2x^2+1)};
\end{align*}
si nota che $D(x) = x^2(x^4 + 2x^2 + 1) = x^2(x^2 + 1)^2;$ impostando la formula di Hermite si ha:
\begin{align*}
\frac{1}{x^2(x^4+2x^2+1)}= \frac{A}{x}+ \frac{Bx+c}{ x^2 + 1}+\frac{d}{dx}\left( \frac{Dx^2+Ex+F}{x (x^2 + 1)}\right) ,
\end{align*}
dove a numeratore, dentro la derivata, c'è un generico polinomio di grado $2,$ visto che il denominatore viene di grado $3;$ svolgendo i calcoli, si ha:
\begin{align*}
\frac{A}{x}+ \frac{Bx+c}{ x^2 + 1}&+\frac{d}{dx}\left( \frac{Dx^2+Ex+F}{x (x^2 + 1)}\right)= \frac{A}{x}+ \frac{Bx+c}{ x^2 + 1}+ \frac{-Dx^4-2Ex^3+(D-3F)x^2-F}{x^2 (x^2 + 1)^2}\\
&= \frac{(A+B)x^5+(C-D)x^4+(2A+B-2E)x^3+(C+D-3F)x^2+Ax-F}{x^2 (x^2 + 1)^2}\\
&=\begin{cases}A+B&=0\\C-D&=0\\2A+B-2E&=0\\C+D-3F&=0\\A&=0\\-F&=1
\end{cases}=\begin{cases}A&=0\\B&=0\\C&=-3/2\\D&=-3/2\\E&=0\\ F&=-1
\end{cases},
\end{align*}
quindi:
\begin{align*}
\int \frac{1}{x^2(x^4+2x^2+1)}\,\,dx&=\int-\frac{3}{2(x^2+1)}-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(\frac{3x^2+2}{ x(x^2+1)}\right)\,\,dx=-\frac{3}{2}\arctan x-\frac{3x^2+2}{ 2x(x^2+1)}+c.
\end{align*}
E' evidente che la formula porta a calcoli spesso assai complessi ma, in ogni caso risolve il problema.