Delucidazione Corollario Bolzano - Weierstrass
Salve a tutti ragazzi avrei un problema nella dimostrazione del corollario del teorem, ovvero:
"Se una successione è limitata allora esiste una sua successione estratta convergente e monotona."
Il problema è che non riesco a capire perchè l'intorno costruito non debba contenere i termini della successione.
Nell'immagine è sottolineato quello che non ho capito.
http://i64.tinypic.com/n56iph.jpg
Grazie a tutti per la vostra disponibilità
"Se una successione è limitata allora esiste una sua successione estratta convergente e monotona."
Il problema è che non riesco a capire perchè l'intorno costruito non debba contenere i termini della successione.
Nell'immagine è sottolineato quello che non ho capito.
http://i64.tinypic.com/n56iph.jpg
Grazie a tutti per la vostra disponibilità
Risposte
Se l'intorno $(b-r,b+r)$ contiene $a_{n_1}$,
nello scegliere $a_{n_2}$ possiamo prendere $a_{n_2}= a_{n_1}$, cosa che non vogliamo,
perché noi ci vogliamo sempre di più avvicinare a $b$.
Se invece mettiamo il vincolo che $r< min{1/2 , |a_{n_1}-b|}$, siamo sicuri che nell'intorno $(b-r,b+r)$ non c'è $a_{n_1}$.
nello scegliere $a_{n_2}$ possiamo prendere $a_{n_2}= a_{n_1}$, cosa che non vogliamo,
perché noi ci vogliamo sempre di più avvicinare a $b$.
Se invece mettiamo il vincolo che $r< min{1/2 , |a_{n_1}-b|}$, siamo sicuri che nell'intorno $(b-r,b+r)$ non c'è $a_{n_1}$.
@Gi8 GRazie mille sei stato chiarissimo! 
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