Delta di dirac e operatore nabla!!

[manlio1]

Salve a tutti, ho 2 domande:
1) se ho:
$\int 1/|\vec x- \vec x'|\ \vec nabla_{x}*vec J(\vec x') d^3x'$
il risultato non dovrebbe essere zero visto che l'operatore nabla opera su x, mentre J è funzione di x' ??

2) se ho:
$\int_-infty ^ (+infty) vec J(vec x') 4pi delta(vec x - vec x') d^3x'$
il risultato sarebbe:
$4 pi vec J(vec x)$ oppure $4 pi vec J(vec x')$ ??

[manlio1]

UP!

[gugo82]

1) Beh, dipende... Infatti potresti interpretare l'integrando nel senso che la divergenza \(\nabla_x \cdot\) del campo \(\vec{J}\) va calcolata nel punto \(\vec{x}^\prime\), poi moltiplicata per \(|\vec{x} - \vec{x}^\prime |^{-1}\) e dunque integrata rispetto a \(\vec{x}^\prime\).
In altre parole, potresti pensare che quello che vuoi calcolare sia la convoluzione:
\[
\Phi * (\nabla_\vec{x} \cdot \vec{J})\; ,
\]
in cui \(\Phi (\vec{x}) := |\vec{x} |^{-1}\), che non sempre è nulla.

2) il primo (perché la variabile "vera" è \(\vec{x}\), non la variabile d'integrazione \(\vec{x}^\prime\)).

Nota a margine: notazioni pesantissime... Sarà un libro per fisici/ingegneri quello che stai usando?