Delta di Dirac
ciao a tutti, ho 2 domandine veloci da farsi, ma mi stanno facendo pensare più del previsto.
Si tratta della Delta di Dirac: ho 2 integrali e devo sceglierie la risposta tra 3 possibili risposte che sono $\delta(t), 1, cos(t)$
gli integrali sono:
a)$\int_{-infty}^{+infty}cos(t)\delta(t - s)ds$
b)$\int_{-infty}^{+infty}cos(t - s)\delta(t - s)ds$
mi trovo decisamente senza idee, perchè in a) non posso usare la proprietà rivelatrice, altrimenti dovrei avere $\int_{-infty}^{+infty}cos(s)\delta(s - T)ds = cos(T)$, e non si tratta neppure di una convoluzione perchè dovrei avere: $\int_{-infty}^{+infty}cos(s)\delta(t - s)ds = cos(t)$. Qui ho che il coseno è semplicemente una costante, quindi è come avere: $cos(t)\int_{-infty}^{+infty}\delta(t - s)ds$ che mi dà $cos(t)$.. c'è un qualche evidente errore perchè non credo possa essere uguale al risultato della convoluzione.
Per quando riguarda il b) non saprei nemmeno partire..
sapresti aiutarmi ?
Si tratta della Delta di Dirac: ho 2 integrali e devo sceglierie la risposta tra 3 possibili risposte che sono $\delta(t), 1, cos(t)$
gli integrali sono:
a)$\int_{-infty}^{+infty}cos(t)\delta(t - s)ds$
b)$\int_{-infty}^{+infty}cos(t - s)\delta(t - s)ds$
mi trovo decisamente senza idee, perchè in a) non posso usare la proprietà rivelatrice, altrimenti dovrei avere $\int_{-infty}^{+infty}cos(s)\delta(s - T)ds = cos(T)$, e non si tratta neppure di una convoluzione perchè dovrei avere: $\int_{-infty}^{+infty}cos(s)\delta(t - s)ds = cos(t)$. Qui ho che il coseno è semplicemente una costante, quindi è come avere: $cos(t)\int_{-infty}^{+infty}\delta(t - s)ds$ che mi dà $cos(t)$.. c'è un qualche evidente errore perchè non credo possa essere uguale al risultato della convoluzione.
Per quando riguarda il b) non saprei nemmeno partire..
sapresti aiutarmi ?
Risposte
Dovresti sapere che la [tex]$\delta$[/tex] è l'elemento neutro rispetto al prodotto di convoluzione, quindi la risposta alla tua domanda dovrebbe esserti oltremodo nota.
sisi lo so, ma appunto quei 2 esercizi non mi pare cadano nel caso delal convoluzione come ho scritto in seguito..
Vabbè... 
Nel primo puoi portare [tex]$\cos t$[/tex] fuori dal segno d'integrale, perchè essa è indipendente dalla variabile d'integrazione; a quel punto ti rimane da risolvere [tex]\int_{-\infty}^{+\infty} \delta (t-s)\ \text{d} s[/tex], che è la convoluzione di [tex]$\delta$[/tex] con l'applicazione identicamente [tex]$=1$[/tex] e che, ovviamente, dà come risultato [tex]$1$[/tex]; pertanto il risultato è [tex]$\cos t$[/tex].
Nel secondo, una nota proprietà del coseno ti consente di scrivere [tex]$\cos (t-s)=\cos t\cos s+\sin t\sin s$[/tex], quindi risolvi applicando direttamente la proprietà di convoluzione della [tex]$\delta$[/tex], dopo aver spezzato l'integrale in somma ed aver portato fuori dall'integrale tutto ciò che puoi.
Nel primo puoi portare [tex]$\cos t$[/tex] fuori dal segno d'integrale, perchè essa è indipendente dalla variabile d'integrazione; a quel punto ti rimane da risolvere [tex]\int_{-\infty}^{+\infty} \delta (t-s)\ \text{d} s[/tex], che è la convoluzione di [tex]$\delta$[/tex] con l'applicazione identicamente [tex]$=1$[/tex] e che, ovviamente, dà come risultato [tex]$1$[/tex]; pertanto il risultato è [tex]$\cos t$[/tex].
Nel secondo, una nota proprietà del coseno ti consente di scrivere [tex]$\cos (t-s)=\cos t\cos s+\sin t\sin s$[/tex], quindi risolvi applicando direttamente la proprietà di convoluzione della [tex]$\delta$[/tex], dopo aver spezzato l'integrale in somma ed aver portato fuori dall'integrale tutto ciò che puoi.
ah quindi il primo era giusto.. grazie per la dritta!
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