Delta di Dirac
riguardo ad una discussione di un pò di tempo fa, mi tiro indietro e do ragione a chi parlava con ragion veduta........
Mi sto impaperando al momento e cercavo di passare da una visione euristica ad una più matematica ma incontro qualche difficoltà....
riesco a dare senso di misura alle delte più semplici, tipo la $\delta(x-x_1)$ in R, o anche in R^2, vedendola come la misura prodotto di questa e quella di Lesbegue sull'altro asse....
Ma già a dare senso ad una $\delta(f(x,y))$ in R^2 incontro difficoltà... intuitivamente come distribuzione dovrebbe essere l'integrale di linea della funzione test $g$ lungo una eventuale sottovarietà di zeri di dimensione uno della f ,,,, più magari la funzione calcolata in zeri isolati... però non saprei rendere rigoroso, forse sostituendo una approssimazione della delta, ma pare un casino...
e ancora più problemi con una $\delta(f(x,y))\delta(g(x,y))$... intuitivamente come prima se la vedo come distribuzione dovrebbe dipendere dal valore della funzione negli zeri comuni della f e della g, ma moltiplicati per qualcosa.... cosa?
boh........???????????????? non credo che questa roba sia troppo mal definita...
help me!
Mi sto impaperando al momento e cercavo di passare da una visione euristica ad una più matematica ma incontro qualche difficoltà....
riesco a dare senso di misura alle delte più semplici, tipo la $\delta(x-x_1)$ in R, o anche in R^2, vedendola come la misura prodotto di questa e quella di Lesbegue sull'altro asse....
Ma già a dare senso ad una $\delta(f(x,y))$ in R^2 incontro difficoltà... intuitivamente come distribuzione dovrebbe essere l'integrale di linea della funzione test $g$ lungo una eventuale sottovarietà di zeri di dimensione uno della f ,,,, più magari la funzione calcolata in zeri isolati... però non saprei rendere rigoroso, forse sostituendo una approssimazione della delta, ma pare un casino...
e ancora più problemi con una $\delta(f(x,y))\delta(g(x,y))$... intuitivamente come prima se la vedo come distribuzione dovrebbe dipendere dal valore della funzione negli zeri comuni della f e della g, ma moltiplicati per qualcosa.... cosa?
boh........???????????????? non credo che questa roba sia troppo mal definita...
help me!
Risposte
mmm... congetturo che nell'ultimo caso con il prodotto delle due delta si deve dividere il numero della funzione negli zeri comuni per il determinante della matrice $((f_x,f_y),(g_x,g_y))$....
Thomas, sarebbe meglio se tu linkassi il post cui ti riferisci.
[mod="Fioravante Patrone"]Modifico anche il titolo, specificando che si parla di delta di Dirac[/mod]
[mod="Fioravante Patrone"]Modifico anche il titolo, specificando che si parla di delta di Dirac[/mod]
uuu....... rimproverato da un mod... finalmente! 
................
La discussione era questa
https://www.matematicamente.it/forum/int ... 33829.html
ma in realtà non si collega molto alle mie domande, almeno credo... per questo non l'ho linkata! là si parlava di questioni 'di principio'... la mia domanda è un pò più pratica...
grazie per aver cambiato il titolo, in effetti questo ci sta molto meglio!
................La discussione era questa
https://www.matematicamente.it/forum/int ... 33829.html
ma in realtà non si collega molto alle mie domande, almeno credo... per questo non l'ho linkata! là si parlava di questioni 'di principio'... la mia domanda è un pò più pratica...
grazie per aver cambiato il titolo, in effetti questo ci sta molto meglio!
"Thomas":
uuu....... rimproverato da un mod... finalmente!
Mi spiace
deluderti.Non era un rimprovero. Semplicemente segnalavo la modifica fatta in qualità di moderatore.
Vabbé, sarà per un'altra volta
Credo che si tratti di misure concentrate sui grafici, non mi pare nulla di strano.... l'integrale di Lebesgue lo fai rispetto ad una misura qualunque più o meno.
beh che siano concentrate sui grafici è vero, ok.... ma di misure concentrate su una sottovarietà ce ne sono tante: il punto sta nel cercare la relazione tra la funzione ad argomento della $\delta$ e la misura associata per poi fare i calcoli pratici...
credo che vedendo la delta come distribuzione la cosa è più facile.... e credo che torni abbastanza bene come dicevo negli altri post.... anche facendo qualche esempio di calcolo pare tornare...
in realtà non capisco cosa intendi per integrale di Lesbegue rispetto ad una misura... a quanto ricordo Lesbegue è una misura su R^n che verifica certe proprietà (traslazionali mi pare) e l'integrale di Lesbegue per me è l'integrale di una funzione secondo la misura di Lesbegue...
credo che vedendo la delta come distribuzione la cosa è più facile.... e credo che torni abbastanza bene come dicevo negli altri post.... anche facendo qualche esempio di calcolo pare tornare...
in realtà non capisco cosa intendi per integrale di Lesbegue rispetto ad una misura... a quanto ricordo Lesbegue è una misura su R^n che verifica certe proprietà (traslazionali mi pare) e l'integrale di Lesbegue per me è l'integrale di una funzione secondo la misura di Lesbegue...
No, l'integrale di lebesgue accidentalmente ha lo stesso nome della misura omonima, ma si definisce con una misura qualunque.
immagino che nelle mie denominazioni quello che io chiamo 'integrale di una funzione su uno spazio di misura qualunque' per te sia 'integrale di Lesbegue'... right?
che peraltro si scrive Lebesgue.... il francese è una lingua sconosciuta per me...
Sì, sono modi diversi di indicare la stessa cosa.
per non aprire topic...
la trasformata di fourier per la delta di dirac come si fa? stavo provando ma non mi viene...grazie.
la trasformata di fourier per la delta di dirac come si fa? stavo provando ma non mi viene...grazie.
Considerato che $f(t) \delta(t) = f(0) \delta(t)$, la trasformata della delta vale
$\mathcal{F}\{\delta(t)\}(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) e^{-j 2 \pi f t} dt = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) dt = 1$
Credo sia una spiegazione piuttosto rozza e da ingegneri, speriamo che i matematici abbiano pietà di me...
$\mathcal{F}\{\delta(t)\}(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) e^{-j 2 \pi f t} dt = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) dt = 1$
Credo sia una spiegazione piuttosto rozza e da ingegneri, speriamo che i matematici abbiano pietà di me...
"Tipper":
Considerato che $f(t) \delta(t) = f(0) \delta(t)$, la trasformata della delta vale
$\mathcal{F}\{\delta(t)\}(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) e^{-j 2 \pi f t} dt = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) dt = 1$
Credo sia una spiegazione piuttosto rozza e da ingegneri, speriamo che i matematici abbiano pietà di me...
non ti seguo scusa, io nell'integrale avrei $e^(-i*k*x)$ moltiplicato alla funzione delta...(ok il mio k è la tua f, pero quel 2pigreco dove lo prendi?)
Il tuo $k$ è il mio $2 \pi f$, non cambia nulla. Il procedimento è il solito.
La definizione è la seguente:
Sia $g(x) in ccL^1(RR) $, allora $ hat g(omega)=int_(-oo)^(+oo)e^(-iomegax )g(x) dx $ è la trasformata di Fourier di $g(x)$.
Se poni $omega=2pif $ otterrai che la trasformata è equivalentemente $hat g(f) =int_(-oo)^(+oo) e^(-i2pifx) g(x)dx $ e questa forma è usata in Teoria dei segnali e nelle Telecomunicazioni in genere.
In tal caso si considera il segnale $g(t)$ funzione del tempo $t $ e la sua trasformata di Fourier $hat g(f)=int_(-oo)^(+oo) e^(-i2pift)g(t)dt$ ove $f $ rappresenta la/e frequenza/e del segnale.
Quindi $hat g(f) $ rappresenta lo spettro di frequenze del segnale $g(t)$, pertanto la trasformata di Fourier ha operato una trasformazione dal dominio del tempo al dominio delle frequenze.
Ad esempio la trasformata di $e^(-|t|) $è $2/(1+omega^2) =2/(1+4pi^2f^2) $ ; i grafici sono riportati qui sotto [ quello in rosso è relativo alla traformata nel dominio delle frequenze]
Sia $g(x) in ccL^1(RR) $, allora $ hat g(omega)=int_(-oo)^(+oo)e^(-iomegax )g(x) dx $ è la trasformata di Fourier di $g(x)$.
Se poni $omega=2pif $ otterrai che la trasformata è equivalentemente $hat g(f) =int_(-oo)^(+oo) e^(-i2pifx) g(x)dx $ e questa forma è usata in Teoria dei segnali e nelle Telecomunicazioni in genere.
In tal caso si considera il segnale $g(t)$ funzione del tempo $t $ e la sua trasformata di Fourier $hat g(f)=int_(-oo)^(+oo) e^(-i2pift)g(t)dt$ ove $f $ rappresenta la/e frequenza/e del segnale.
Quindi $hat g(f) $ rappresenta lo spettro di frequenze del segnale $g(t)$, pertanto la trasformata di Fourier ha operato una trasformazione dal dominio del tempo al dominio delle frequenze.
Ad esempio la trasformata di $e^(-|t|) $è $2/(1+omega^2) =2/(1+4pi^2f^2) $ ; i grafici sono riportati qui sotto [ quello in rosso è relativo alla traformata nel dominio delle frequenze]
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