Delta di dirac
ciao a tutti,
per quale motivo l'integrale $\int_{-\infty}^{+\infty} e^(ik(x-x')) dk$ sarebbe una delta di Dirac?
per $x=x'$ l'integrale non converge e ok.
per $x!=\x'$ l'integrale dovrebbe dare zero ma non mi torna...sicuramente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua infatti scriverei:
$\int_{-\infty}^{+\infty} e^(ik(x-x')) dk = -i/(x-x') \int_{-\infty}^{+\infty} i(x-x') e^(ik(x-x')) dk = -i/(x-x') e^(ik(x-x')) |_\(-infty)^(+\infty) $ che non e' affatto nullo.
per quale motivo l'integrale $\int_{-\infty}^{+\infty} e^(ik(x-x')) dk$ sarebbe una delta di Dirac?
per $x=x'$ l'integrale non converge e ok.
per $x!=\x'$ l'integrale dovrebbe dare zero ma non mi torna...sicuramente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua infatti scriverei:
$\int_{-\infty}^{+\infty} e^(ik(x-x')) dk = -i/(x-x') \int_{-\infty}^{+\infty} i(x-x') e^(ik(x-x')) dk = -i/(x-x') e^(ik(x-x')) |_\(-infty)^(+\infty) $ che non e' affatto nullo.
Risposte
Sul fatto che per [tex]x \ne x'[/tex] quell'integrale non è nullo hai ragione.
Il punto è che l'idea di delta che viene comunemente data dai non matematici, ossia di una funzione che è ovunque nulla e diverge in un punto, non descrive la vera definizione di delta.
In realtà la delta di Dirac è una [tex]distribuzione[/tex], che (con un po' di licenze sulla notazione) è definita dalla seguente proprietà:
[tex]\int_{- \infty}^{+ \infty} \delta(x-x') \phi(x) dx = \phi(x')[/tex] dove [tex]\phi[/tex] è una qualsiasi [tex]funzione \ test[/tex], ossia una funzione di classe [tex]C_{0}^{ \infty}[/tex], ossia infinitamente differenziabile e nulla al di fuori di un insieme compatto.
Nel caso specifico:
[tex]\int_{-\infty}^{+\infty} \left ( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ik(x-x')} dk \right ) \phi(x) dx = \lim_{M \to +\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{-i}{x-x'} (e^{iM(x-x')} - e^{-iM(x-x')}) \phi(x) dx = 2 \lim_{M \to +\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ \sin{(M(x-x'))}}{x-x'} \phi(x) dx = 2 \lim_{M \to +\infty} \int_{a}^{b} \frac{ \sin{(M(x-x'))}}{x-x'} \phi(x) dx[/tex]
dove l'ultimo passaggio è dovuto al fatto che [tex]\phi[/tex] deve essere nulla al di fuori di un compatto, quindi di un intervallo [tex][a,b][/tex].
A questo punto, tramite una sostituzione e qualche ragionamento si riesce a concludere.
L'idea intuitiva è che:
per $x$ non troppo vicino ad $x'$ si ha che [tex]\frac{ \phi(x)}{x-x'}[/tex] è una funzione limitata, e [tex]\sin{(M(x-x'))}[/tex] per $M$ grande, la fà oscillare molto tra valori positivi e negativi, in modo tale che i contributi delle aree positivi e negativi si cancellino;
per $x$ vicino a $x'$ questo bilanciamento tra parti positive e negative si rompe, perchè vi è una divergenza.
Il punto è che l'idea di delta che viene comunemente data dai non matematici, ossia di una funzione che è ovunque nulla e diverge in un punto, non descrive la vera definizione di delta.
In realtà la delta di Dirac è una [tex]distribuzione[/tex], che (con un po' di licenze sulla notazione) è definita dalla seguente proprietà:
[tex]\int_{- \infty}^{+ \infty} \delta(x-x') \phi(x) dx = \phi(x')[/tex] dove [tex]\phi[/tex] è una qualsiasi [tex]funzione \ test[/tex], ossia una funzione di classe [tex]C_{0}^{ \infty}[/tex], ossia infinitamente differenziabile e nulla al di fuori di un insieme compatto.
Nel caso specifico:
[tex]\int_{-\infty}^{+\infty} \left ( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ik(x-x')} dk \right ) \phi(x) dx = \lim_{M \to +\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{-i}{x-x'} (e^{iM(x-x')} - e^{-iM(x-x')}) \phi(x) dx = 2 \lim_{M \to +\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ \sin{(M(x-x'))}}{x-x'} \phi(x) dx = 2 \lim_{M \to +\infty} \int_{a}^{b} \frac{ \sin{(M(x-x'))}}{x-x'} \phi(x) dx[/tex]
dove l'ultimo passaggio è dovuto al fatto che [tex]\phi[/tex] deve essere nulla al di fuori di un compatto, quindi di un intervallo [tex][a,b][/tex].
A questo punto, tramite una sostituzione e qualche ragionamento si riesce a concludere.
L'idea intuitiva è che:
per $x$ non troppo vicino ad $x'$ si ha che [tex]\frac{ \phi(x)}{x-x'}[/tex] è una funzione limitata, e [tex]\sin{(M(x-x'))}[/tex] per $M$ grande, la fà oscillare molto tra valori positivi e negativi, in modo tale che i contributi delle aree positivi e negativi si cancellino;
per $x$ vicino a $x'$ questo bilanciamento tra parti positive e negative si rompe, perchè vi è una divergenza.
Ci si può arrivare anche per via Fourier. La formula
\[\tag{1}
\int_{-\infty}^\infty e^{ik(x-x')}\, dk
\]
può essere formalmente letta come antitrasformata di Fourier della funzione costante $1$, che appunto ha per trasformata la delta di Dirac. In tutti i modi l'integrale (1) NON ha senso nella teoria dell'integrazione di Lebesgue. Dire che esso è uguale alla delta di Dirac è un tipico abuso di linguaggio della fisica teorica, molto comodo e utile, ma pur sempre un abuso. Quindi non bisogna cercare di dargli un senso preciso perché un senso preciso non ce l'ha. In particolare, robbstark, pur essendo completamente d'accordo sulle idee intuitive che dai, non lo sono sulla presunta dimostrazione che $int_{-\infty}^\infty e^{ik(x-x')} dx=\delta(x-x')$. A meno che tu non stia omettendo qualche indicazione sulla maniera di intendere quell'integrale che io non so. Ripeto che, come integrale di Lebesgue, non ha senso.
\[\tag{1}
\int_{-\infty}^\infty e^{ik(x-x')}\, dk
\]
può essere formalmente letta come antitrasformata di Fourier della funzione costante $1$, che appunto ha per trasformata la delta di Dirac. In tutti i modi l'integrale (1) NON ha senso nella teoria dell'integrazione di Lebesgue. Dire che esso è uguale alla delta di Dirac è un tipico abuso di linguaggio della fisica teorica, molto comodo e utile, ma pur sempre un abuso. Quindi non bisogna cercare di dargli un senso preciso perché un senso preciso non ce l'ha. In particolare, robbstark, pur essendo completamente d'accordo sulle idee intuitive che dai, non lo sono sulla presunta dimostrazione che $int_{-\infty}^\infty e^{ik(x-x')} dx=\delta(x-x')$. A meno che tu non stia omettendo qualche indicazione sulla maniera di intendere quell'integrale che io non so. Ripeto che, come integrale di Lebesgue, non ha senso.
Che ci si arrivi facilmente con le trasformate di Fourier lo avevo tralasciato perchè ci vuole comunque una certa preparazione in più rispetto alla semplice definizione di delta che ho usato.
Preso a sè sono d'accordo che l'integrale che rappresenterebbe la delta non ha senso, perchè la primitiva è il seno, che non ammette limite all'infinito.
Però pensavo che messo dentro l'altro integrale (quello del prodotto scalare) acquisti un senso.
Ho trovato più difficoltà di quanto pensassi a dimostrarlo; se avrò tempo ci proverò a scrivere per bene gli ultimi passaggi, ma penso che debba potersi fare.
Preso a sè sono d'accordo che l'integrale che rappresenterebbe la delta non ha senso, perchè la primitiva è il seno, che non ammette limite all'infinito.
Però pensavo che messo dentro l'altro integrale (quello del prodotto scalare) acquisti un senso.
Ho trovato più difficoltà di quanto pensassi a dimostrarlo; se avrò tempo ci proverò a scrivere per bene gli ultimi passaggi, ma penso che debba potersi fare.
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