Delta
Ciao a tutti.
Non riesco a capire come funzioni una cosa che credo sia la delta di Dirac. Scrivo un esempio:
Ho una funzione di ripartizione:
$G(x)=0$ se $x<0$
$G(x)=1-1/(2(1+x))$ se $x>=0$
Verificato che è una funzione di ripartizione la derivo per ottenere una densità.
Solo che trovo scritto che la densità è:
$1/2delta_0+1/(2(1+x)^2)$ $1_{{x>=0}}$ con $1_A$ la funzione caratteristica dell'insieme A.
Cosa vuol dire?
Dovrebbe indicare il fatto che in 0 c'è un salto quindi la funzione non è continua. Però essendo $C^1$ a tratti si può derivare comunque. Quello che non capisco è la notazione.
Grazie!
EDIT: Avevo messo un dx di troppo.
Non riesco a capire come funzioni una cosa che credo sia la delta di Dirac. Scrivo un esempio:
Ho una funzione di ripartizione:
$G(x)=0$ se $x<0$
$G(x)=1-1/(2(1+x))$ se $x>=0$
Verificato che è una funzione di ripartizione la derivo per ottenere una densità.
Solo che trovo scritto che la densità è:
$1/2delta_0+1/(2(1+x)^2)$ $1_{{x>=0}}$ con $1_A$ la funzione caratteristica dell'insieme A.
Cosa vuol dire?
Dovrebbe indicare il fatto che in 0 c'è un salto quindi la funzione non è continua. Però essendo $C^1$ a tratti si può derivare comunque. Quello che non capisco è la notazione.
Grazie!
EDIT: Avevo messo un dx di troppo.
Risposte
Non so è opportuno specificare che sto parlando di variabili aleatorie reali, quindi la G è la f.r. di una $X:Omega to RR$ v.a. e quindi derivandola dovrei ottenere la (una) densità della legge di X. Lo faccio cmq.
Vuol dire che la densità è identicamente nulla per $x < 0$, ha una delta di Dirac in $x=0$ di ampiezza $\frac{1}{2}$, mentre per $x \ge 0$ vale $\frac{1}{2 (1+x)^2}$.
E per delta di Dirac devo intendere una funzione che vale 1 in 0 e 0 altrove? Perchè ho cercato sulla wiki ma non ci ho capito niente.
Poi cosa cambia se tolgo l'addendo che contiene la delta? Se non sbaglio ho sempre una funzione che vale $0$ per $x<0$ e $1/(2(1+x)^2)$ per $x>=0$
Poi cosa cambia se tolgo l'addendo che contiene la delta? Se non sbaglio ho sempre una funzione che vale $0$ per $x<0$ e $1/(2(1+x)^2)$ per $x>=0$
La delta di Dirac non è propriamente una funzione, ma una distribuzione. Non è proprio correttissimo dal punto di vista matematico quello che sto per dirti, ma prova a prenderla così: la delta di Dirac $\delta(x - x_0)$ vale zero per $x \ne x_0$, mentre assume un valore infinito in $x = x_0$, ed è tale che $\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x - x_0) dx = 1$. Immagina di avere una funzione del tipo $"rect"(x) = \{(1, "se " |x| < \frac{1}{2}),(0, "altrimenti"):}$, puoi vedere la delta di Dirac come $\delta(x) = \lim_{\tau \to 0} \frac{1}{\tau} "rect"(\frac{x}{\tau})$.
PS: spero che i matematici non mi fucilino...
PS: spero che i matematici non mi fucilino...
"fran88":
Poi cosa cambia se tolgo l'addendo che contiene la delta? Se non sbaglio ho sempre una funzione che vale $0$ per $x<0$ e $1/(2(1+x)^2)$ per $x>=0$
Cambia che se integri la densità di probabilità su tutto $\mathbb{R}$ non ottieni più uno, ma $\frac{1}{2}$.
Ok. Vediamo se ho capito: quando mi viene asseganta una funzione di ripartizione F discontinua in un punto x0 io la derivo per ottenere la densità e a questa devo aggiungere $delta(x-x0)$ moltiplicato per l'altezza del "salto" in x0 che poi è la probabilità di ${X=x0}$ cioè $lim_(x to x0^+)F-lim_(x to x0^-)F$. Corretto?
E se la volessi ri-integrare come mi comporto con la parte che contiene la delta? Semplicemente la aggiungo al risultato dell'integrale della parte che non contiene delta?
E se la volessi ri-integrare come mi comporto con la parte che contiene la delta? Semplicemente la aggiungo al risultato dell'integrale della parte che non contiene delta?
Per l'integrazione tieni conto che
$\int_a^b \delta(x - c) dx = \{(1, "se " c \in (a,b)),(0, "se " c \notin [a,b]),(\frac{1}{2}, "se " c = a \quad \vee \quad c = b):}$
$\int_a^b \delta(x - c) dx = \{(1, "se " c \in (a,b)),(0, "se " c \notin [a,b]),(\frac{1}{2}, "se " c = a \quad \vee \quad c = b):}$
Chiarissimo. Grazie mille!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo