Definizioni matematiche obsolete.
Ciao a tutti.
Sto preparando un orale di analisi e ho due dubbi su alcune definizioni:
1) In diversi teoremi viene detto:
"...sia f derivabile in un intervallo aperto... ...blablabla... ...in oltre se f è continua... ...blablabla..."
Ma scusate un po'. Io ho appena studiato che se una f è derivabile in un intervallo allora è anche continua. Ma allora che bisogno cè di dire
"...in oltre se f è continua..."
è logico che lo è se è derivabile no?
2) Spesso mi capita di trovare scritto:
Sia [a,b] un intervallo chiuso e limitato...
...io ho sempre pensato che chiuso e limitato fossero la stessa cosa!
Che differenza c'è?
Grazie!
Sto preparando un orale di analisi e ho due dubbi su alcune definizioni:
1) In diversi teoremi viene detto:
"...sia f derivabile in un intervallo aperto... ...blablabla... ...in oltre se f è continua... ...blablabla..."
Ma scusate un po'. Io ho appena studiato che se una f è derivabile in un intervallo allora è anche continua. Ma allora che bisogno cè di dire
"...in oltre se f è continua..."
è logico che lo è se è derivabile no?
2) Spesso mi capita di trovare scritto:
Sia [a,b] un intervallo chiuso e limitato...
...io ho sempre pensato che chiuso e limitato fossero la stessa cosa!
Che differenza c'è?
Grazie!
Risposte
1) Forse dovresti riportare la frase intera, così non si può dire nulla... comunque se f derivabile in un intervallo aperto allora è anche coninua (su quell'intervallo)
2) Alla faccia delle definizioni matematiche obsolete... magari studiare un po' meglio?
[a,b] è un intervallo chiuso e limitato
(a,b) è un intervallo aperto e limitato
(-inf,b) è un intervallo aperto e illimitato
2) Alla faccia delle definizioni matematiche obsolete... magari studiare un po' meglio?
[a,b] è un intervallo chiuso e limitato
(a,b) è un intervallo aperto e limitato
(-inf,b) è un intervallo aperto e illimitato
1)Ad esempio il teorema della "Valore Medio di Lagrange:
Il teorema è giusto se lo si enuncia così come sul mio libro:
"Sia f una funzione e [a,b] un intervallo chiuso contenuto nel dominio di f, su cui f sia continua. Se f è derivabile in ogni punto di ]a,b[ allora esiste £ tale che
Rapporto incrementale(a,b) = f'(£)"
Il teorema è giusto ma la prima parte non è obsoleta? Ovvero visto che se una f è derivabile è anche continua non si poteva benissimo scrivere così:
"Se f è derivabile in ogni punto di di ]a,b[ allora esiste £ tale che
Rapporto incrementale(a,b) = f'(£)"
2)Ho espresso male la domanda. Io mi riferivo nello specifico ad un intervallo indicato con [a,b]:
Se si scrive:
"sia [a,b] chiuso e limitato", per me è la stessa cosa nel senso che [a,b] indica un intervallo chiuso e limitato, quindi se [a,b] è chiuso è anche limitato e viceversa.
E' obsoleto dire che è chiuso o che è limitato... ...scrivendo [a,b] si capisce già no?
...però questa ammetto che è solo una pignoleria forse.
Il teorema è giusto se lo si enuncia così come sul mio libro:
"Sia f una funzione e [a,b] un intervallo chiuso contenuto nel dominio di f, su cui f sia continua. Se f è derivabile in ogni punto di ]a,b[ allora esiste £ tale che
Rapporto incrementale(a,b) = f'(£)"
Il teorema è giusto ma la prima parte non è obsoleta? Ovvero visto che se una f è derivabile è anche continua non si poteva benissimo scrivere così:
"Se f è derivabile in ogni punto di di ]a,b[ allora esiste £ tale che
Rapporto incrementale(a,b) = f'(£)"
2)Ho espresso male la domanda. Io mi riferivo nello specifico ad un intervallo indicato con [a,b]:
Se si scrive:
"sia [a,b] chiuso e limitato", per me è la stessa cosa nel senso che [a,b] indica un intervallo chiuso e limitato, quindi se [a,b] è chiuso è anche limitato e viceversa.
E' obsoleto dire che è chiuso o che è limitato... ...scrivendo [a,b] si capisce già no?
...però questa ammetto che è solo una pignoleria forse.
1)
Dici bene che f derivabile su (a,b) implica f continua su (a,b).
Ma qui e' richiesto f continua su [a,b]! E la continuita' sul chiuso non e' "regalata" dalla derivabilita' sull'aperto!
Quindi non puoi togliere alcun punto di queste ipotesi!
2)
Ci sono esempi di insiemi chiusi e illimitati. Ad esempio $RR$ e' chiuso e illimitato!
Comunque la scritta [a,b] effettivamente renderebbe sovrabbondante specificare che l'insieme e' chiuso e limitato. Quindi qui potresti anche semplicemente scrivere [a,b]. Penso che molti inseriscano anche la dicitura "chiuso e limitato" per sottolineare questa proprieta' topologica che poi, in molti casi, resta come ipotesi nel caso di funzioni di piu' variabili (per cui non si puo' scrivere un insieme banalmente come intervallo, ma sono molti piu' tipi di insiemi) dell'analogo teorema generalizzato. In altre parole il "chiuso e limitato" e' quello che poi deve rimanere nella testa dello studente, l'[a,b] e' solo il caso particolare di funzioni di una variabile....
Dici bene che f derivabile su (a,b) implica f continua su (a,b).
Ma qui e' richiesto f continua su [a,b]! E la continuita' sul chiuso non e' "regalata" dalla derivabilita' sull'aperto!
Quindi non puoi togliere alcun punto di queste ipotesi!
2)
Ci sono esempi di insiemi chiusi e illimitati. Ad esempio $RR$ e' chiuso e illimitato!
Comunque la scritta [a,b] effettivamente renderebbe sovrabbondante specificare che l'insieme e' chiuso e limitato. Quindi qui potresti anche semplicemente scrivere [a,b]. Penso che molti inseriscano anche la dicitura "chiuso e limitato" per sottolineare questa proprieta' topologica che poi, in molti casi, resta come ipotesi nel caso di funzioni di piu' variabili (per cui non si puo' scrivere un insieme banalmente come intervallo, ma sono molti piu' tipi di insiemi) dell'analogo teorema generalizzato. In altre parole il "chiuso e limitato" e' quello che poi deve rimanere nella testa dello studente, l'[a,b] e' solo il caso particolare di funzioni di una variabile....
Grazie mille!
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