Definizioni di funzioni analitiche
Ciao, vorrei chiedere un aiuto come dimostrare che le due definizioni siano uguali:
1)
2)
Se la serie di Taylor della funzione $f ( x )$ converge per ogni $x$ nell'intervallo $( x_0 − r , x_0 + r )$ e se la sua somma è uguale alla $f ( x )$, questa funzione viene detta funzione analitica.
1)
2)
Se la serie di Taylor della funzione $f ( x )$ converge per ogni $x$ nell'intervallo $( x_0 − r , x_0 + r )$ e se la sua somma è uguale alla $f ( x )$, questa funzione viene detta funzione analitica.
Risposte
Le due definizioni non sono equivalenti: la prima è corretta, la seconda no.
Grazie gugo82 per la tua risposta, ci stavo ammattendo sopra.
In effetti la 1) è più generale perché definisce una funzione analitica su qualunque (a,b).
Vorrei però ragionare su un fatto: ogni volta che prendo una funzione analitica in $x_0$ per la definizione 1) noto che essa converge a f in qualunque x compresa tra $(x_0-\delta,x_0+\delta)$, effettivamente come dicevo posso prendere un $x'_0$ interno a quell'intorno di $x_0$ e trovare un $delta'$ per cui converge in qualunque x in $(x'_0-\delta',x'_0+\delta')$ (questo perché per definizione 1) converge in ogni x dell'intervallo che lo contiene). Dunque posso dire che f è analitica in $(x_0-\delta,x_0+\delta)$.
D'altra parte invece che prendere un intervallo e trovare tanti sotto-intervalli contenuti in $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ per cui ho sempre analicità puntuale in realtà mi basta dire che se la funzione converge per ogni x in $(x0−r,x0+r)$ allora sarà analitica in questo intervallo e sarà analitica per ogni x di quell'intervallo.
infatti mi sembra che ogni volta che è analitica in $x_0$, automaticamente lo è in $(x_0-delta,x_0+delta)$ per la questione dei sottointervalli detta sopra. E viceversa quando è analitica in $(x_0-delta,x_0+delta)$ lo è anche nel punto $x_0$.
Questo intuitivamente, ma come lo dimostro?
In effetti la 1) è più generale perché definisce una funzione analitica su qualunque (a,b).
Vorrei però ragionare su un fatto: ogni volta che prendo una funzione analitica in $x_0$ per la definizione 1) noto che essa converge a f in qualunque x compresa tra $(x_0-\delta,x_0+\delta)$, effettivamente come dicevo posso prendere un $x'_0$ interno a quell'intorno di $x_0$ e trovare un $delta'$ per cui converge in qualunque x in $(x'_0-\delta',x'_0+\delta')$ (questo perché per definizione 1) converge in ogni x dell'intervallo che lo contiene). Dunque posso dire che f è analitica in $(x_0-\delta,x_0+\delta)$.
D'altra parte invece che prendere un intervallo e trovare tanti sotto-intervalli contenuti in $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ per cui ho sempre analicità puntuale in realtà mi basta dire che se la funzione converge per ogni x in $(x0−r,x0+r)$ allora sarà analitica in questo intervallo e sarà analitica per ogni x di quell'intervallo.
infatti mi sembra che ogni volta che è analitica in $x_0$, automaticamente lo è in $(x_0-delta,x_0+delta)$ per la questione dei sottointervalli detta sopra. E viceversa quando è analitica in $(x_0-delta,x_0+delta)$ lo è anche nel punto $x_0$.
Questo intuitivamente, ma come lo dimostro?
"giangianni":
Grazie gugo82 per la tua risposta, ci stavo ammattendo sopra.
In effetti la 1) è più generale perché definisce una funzione analitica su qualunque (a,b).
In verità, la seconda è scritta coi piedi.
"giangianni":
Vorrei però ragionare su un fatto: ogni volta che prendo una funzione analitica in $x_0$ per la definizione 1) noto che essa […]
Scusa, “essa” chi?
"giangianni":
[…] converge a f in qualunque x compresa tra $(x_0-\delta,x_0+\delta)$, effettivamente come dicevo posso prendere un $x'_0$ interno a quell'intorno di $x_0$ e trovare un $delta'$ per cui converge in qualunque x in $(x'_0-\delta',x'_0+\delta')$ (questo perché per definizione 1) converge in ogni x dell'intervallo che lo contiene). Dunque posso dire che f è analitica in $(x_0-\delta,x_0+\delta)$.
No.
Stai ragionando male, proprio perché prima non hai specificato “essa”.
"giangianni":
D'altra parte invece che prendere un intervallo e trovare tanti sotto-intervalli contenuti in $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ per cui ho sempre analicità puntuale in realtà mi basta dire che se la funzione converge per ogni x in $(x0−r,x0+r)$ allora sarà analitica in questo intervallo e sarà analitica per ogni x di quell'intervallo.
La “funzione converge”?
Sei proprio sicuro che sia questo il punto?
"giangianni":
infatti mi sembra che ogni volta che è analitica in $x_0$[…]
“Ogni volta che è analitica” chi? Cosa?
"giangianni":
[…] automaticamente lo è in $(x_0-delta,x_0+delta)$ per la questione dei sottointervalli detta sopra.
No.
Errore come sopra.
"giangianni":
E viceversa quando è analitica in $(x_0-delta,x_0+delta)$ lo è anche nel punto $x_0$.
Questo è ovvio: è la definizione.
"giangianni":
Questo intuitivamente
L’intuizione che non è supportata da precisione fa prendere grossi abbagli.
Grazie gugo per la risposta, cerco di capire dove sbaglio rispondendo ai tuoi appunti...
con "essa" intendevo in principio la serie di taylor, poi però sono uscito fuori strada come fai notare in modo impeccabile. Ragionando sugli spunti vorrei vedere se ho afferrato il punto.
Tralasciamo l'ultimo messaggio che contiene grandi errori e riprendiamo il primo dove ho scritto correttamente le definizioni su cui voglio capirci di più.
Quello che mi vuoi far notare è che è la serie di taylor a convergere, inoltre la definizione 1 (ove dice: "se f èanalitica in ogni punto $x'_0\in(a,b)$ si dice analitica in $(a,b)$") richiede intrinsecamente che preso ogni $x'_0\in (x_0-delta,x_0+delta)$ e CENTRANDO la serie in quell'$x'_0$ deve convergere in un intorno di esso. Quindi, perché la funzione sia analitica in $(x_0-delta,x_0+delta)$, vuol dire che centrando la serie in ogni punto di quell'intervallo avrò un raggio di convergenza $\delta'$. Questo è ben diverso rispetto a quanto affermato nella seconda "definizione", infatti in quel caso parla solo di convergenza in ogni punto dell'intorno $(x_0-delta,x_0+delta)$ ma non implica che centrando la serie in quelle x nel raggio di convergenza della serie centrata in x0 andrà a convergere.
E' forse questo il punto?
con "essa" intendevo in principio la serie di taylor, poi però sono uscito fuori strada come fai notare in modo impeccabile. Ragionando sugli spunti vorrei vedere se ho afferrato il punto.
Tralasciamo l'ultimo messaggio che contiene grandi errori e riprendiamo il primo dove ho scritto correttamente le definizioni su cui voglio capirci di più.
Quello che mi vuoi far notare è che è la serie di taylor a convergere, inoltre la definizione 1 (ove dice: "se f èanalitica in ogni punto $x'_0\in(a,b)$ si dice analitica in $(a,b)$") richiede intrinsecamente che preso ogni $x'_0\in (x_0-delta,x_0+delta)$ e CENTRANDO la serie in quell'$x'_0$ deve convergere in un intorno di esso. Quindi, perché la funzione sia analitica in $(x_0-delta,x_0+delta)$, vuol dire che centrando la serie in ogni punto di quell'intervallo avrò un raggio di convergenza $\delta'$. Questo è ben diverso rispetto a quanto affermato nella seconda "definizione", infatti in quel caso parla solo di convergenza in ogni punto dell'intorno $(x_0-delta,x_0+delta)$ ma non implica che centrando la serie in quelle x nel raggio di convergenza della serie centrata in x0 andrà a convergere.
E' forse questo il punto?
Il punto è che non ti esprimi bene.
“In principio” era il Verbo.
Ogni serie di potenze ha un raggio di convergenza, nullo, finito od infinito. È un teorema fondamentale.
Il punto della definizione è che per ogni $x’_0 in (x_0 - delta, x_0+delta)$ esiste una s.d.p. $sum_(n=0)^oo a_n(x’_0) (x - x’_0)^n$ che abbia raggio di convergenza $0
Infatti in principio non sei affatto sicuro che questo accada… Ma c’è un potente teorema che ti garantisce che tutto va per il verso giusto.
Credo sia una delle prime risposte lunghe che diedi su questo forum: la trovi qui.
"giangianni":
con "essa" intendevo in principio la serie di taylor
“In principio” era il Verbo.
"giangianni":
Quello che mi vuoi far notare è che è la serie di taylor a convergere, inoltre la definizione 1 (ove dice: "se f èanalitica in ogni punto $ x'_0\in(a,b) $ si dice analitica in $ (a,b) $") richiede intrinsecamente che preso ogni $ x'_0\in (x_0-delta,x_0+delta) $ e CENTRANDO la serie in quell'$ x'_0 $ deve convergere in un intorno di esso. Quindi, perché la funzione sia analitica in $ (x_0-delta,x_0+delta) $, vuol dire che centrando la serie in ogni punto di quell'intervallo avrò un raggio di convergenza $ \delta' $.
Ogni serie di potenze ha un raggio di convergenza, nullo, finito od infinito. È un teorema fondamentale.
Il punto della definizione è che per ogni $x’_0 in (x_0 - delta, x_0+delta)$ esiste una s.d.p. $sum_(n=0)^oo a_n(x’_0) (x - x’_0)^n$ che abbia raggio di convergenza $0
"giangianni":
Questo è ben diverso rispetto a quanto affermato nella seconda "definizione", infatti in quel caso parla solo di convergenza in ogni punto dell'intorno $ (x_0-delta,x_0+delta) $ ma non implica che centrando la serie in quelle x nel raggio di convergenza della serie centrata in x0 andrà a convergere.
Infatti in principio non sei affatto sicuro che questo accada… Ma c’è un potente teorema che ti garantisce che tutto va per il verso giusto.
Credo sia una delle prime risposte lunghe che diedi su questo forum: la trovi qui.
"giangianni":[/quote]
Le capacità sono in tutti, solo che vanno affinate.
Grazie:D non conoscevo quel teorema..
Dunque la proposizione:
E' corretta, a partto di conoscere la vera definzione di analiticità e il teorema suddetto.
In altre parloe: pragmaticamente se verifico che una serie di potenze ha un certo raggio di convergenza e la serie converge puntualmente proprio a f(x) in tale intervallo, automaticamente, in forza al teorema, so che è analitica in tale intorno di raggio r.
Dunque la proposizione:
"Se la serie di Taylor della funzione $f ( x )$ converge per ogni $x$ nell'intervallo $( x_0 − r , x_0 + r )$ e se la sua somma è uguale alla $f ( x )$, questa funzione viene detta funzione analitica."
E' corretta, a partto di conoscere la vera definzione di analiticità e il teorema suddetto.
In altre parloe: pragmaticamente se verifico che una serie di potenze ha un certo raggio di convergenza e la serie converge puntualmente proprio a f(x) in tale intervallo, automaticamente, in forza al teorema, so che è analitica in tale intorno di raggio r.
No, quella roba lì rimane scritta coi piedi.
Quello che si può dire è che la somma di una serie di potenze è una funzione analitica all’interno dell’intervallo di convergenza della serie.
Quello che si può dire è che la somma di una serie di potenze è una funzione analitica all’interno dell’intervallo di convergenza della serie.
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