Definizione residuo.
Residuo è per definizione, il coefficiente $C_-1$ dello sviluppo in serie di Laurent e fin qui ci siamo.
Non mi è chiaro però, perchè termine di indice -1 sia l'unico della serie a non ammettere primitiva e quindi non integrabile...
Non mi è chiaro però, perchè termine di indice -1 sia l'unico della serie a non ammettere primitiva e quindi non integrabile...
Risposte
Tutti i termini della forma $a_n(z - z_0)^n$ per $n ne -1$ ammettono una primitiva semplice: $(a_n)/(n+1)(z-z_0)^(n+1)$.
Per il temine $n = -1$ abbiamo che per $C = { z in CC | | z - z_0| = r }:$
$oint_(C) (a_(-1))/(z - z_0) dz = a_(-1) oint_(C) (1)/(z - z_0) dz = a_(-1) oint_{|z| = r} 1/z dz = a_(-1) int_0^(2pi) 1/(re^(it)) rie^(it) dt = a_(-1) int_0^(2pi) i dt = a_(-1) 2pi i ne 0$
per $a_(-1) ne 0$.
E quindi per un teorema che afferma che la primitiva di una funzione analitica esiste se e solo se la circuitazione di ogni curva chiusa nel dominio in cui è definita è uguale a 0, il termine di indice -1 non ammette primitiva (in generale).
Per il temine $n = -1$ abbiamo che per $C = { z in CC | | z - z_0| = r }:$
$oint_(C) (a_(-1))/(z - z_0) dz = a_(-1) oint_(C) (1)/(z - z_0) dz = a_(-1) oint_{|z| = r} 1/z dz = a_(-1) int_0^(2pi) 1/(re^(it)) rie^(it) dt = a_(-1) int_0^(2pi) i dt = a_(-1) 2pi i ne 0$
per $a_(-1) ne 0$.
E quindi per un teorema che afferma che la primitiva di una funzione analitica esiste se e solo se la circuitazione di ogni curva chiusa nel dominio in cui è definita è uguale a 0, il termine di indice -1 non ammette primitiva (in generale).
Molto chiaro, grazie!
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