Definizione precisa di differenziale
Volevo sapere quale tra queste due è la definizione precisa di differenziale,o meglio quale delle due viene prima e quale è invece una conseguenza diretta della prima:
1) def $ df=f'(x)*Delta x $
2)def $ df=f'(x)*d x $
so che sono molto simili ma volevo sapere quale delle due viene prima dell'altra come definizione...
inoltre volevo sapere la differenza di significato che esprimono rispettivamente $ Delta x $ e $ dx $ :
nel senso che di solito con il primo simbolo (delta) si fa riferimento a una variazione finita(reale) di una certa quantità mentre con il secondo simbolo ("d") si fa riferimento a una variazione infinitesima...volevo pero sapere se era giusto interpretarli in questo modo nella definizione di differenziale df....perche mi pare impossibile geometricamente che il differenziale df sia indistintamente uguale sia a una variazione infinitesima dx che a una variazione finita deltax.
Bisogna forse interpretare perciò la quantità deltax come una variazione finita o al limite infinitesima applicando il simbolo di limite e dx non come a una variazione infinitesima ma piu semplicemente come il differenziale di f(x)=x ?
grazie!!
1) def $ df=f'(x)*Delta x $
2)def $ df=f'(x)*d x $
so che sono molto simili ma volevo sapere quale delle due viene prima dell'altra come definizione...
inoltre volevo sapere la differenza di significato che esprimono rispettivamente $ Delta x $ e $ dx $ :
nel senso che di solito con il primo simbolo (delta) si fa riferimento a una variazione finita(reale) di una certa quantità mentre con il secondo simbolo ("d") si fa riferimento a una variazione infinitesima...volevo pero sapere se era giusto interpretarli in questo modo nella definizione di differenziale df....perche mi pare impossibile geometricamente che il differenziale df sia indistintamente uguale sia a una variazione infinitesima dx che a una variazione finita deltax.
Bisogna forse interpretare perciò la quantità deltax come una variazione finita o al limite infinitesima applicando il simbolo di limite e dx non come a una variazione infinitesima ma piu semplicemente come il differenziale di f(x)=x ?
grazie!!
Risposte
La questione di $dx$, differenziali e variazioni infinitesime è annosa e ha suscitato molte controversie su questo forum.
Nel caso del differenziale di una funzione di una sola variabile la risposta è quella che hai dato tu alla fine: $dx$ è il differenziale della funzione $f(x)=x$.
Ti dico come vedo io questa storia dei $dx$. Il concetto di $dx$ come 'variazione infinitesima' non esiste nell'analisi attuale come noi la studiamo (a meno di non riferirsi alla cosiddetta 'analisi non standard', che però qui non c'entra). In analisi $dx$ o è un differenziale, o è puro simbolo 'muto' negli integrali, dove sta ad indicare la variabile di integrazione. Con $Deltax$ si intende invece in genere una variazione finita, tipo $x_1-x_o$ per intenderci.
La questione di distinguere tra $Deltax$ variazione finita o $dx$ variazione infinitesima non riguarda l'analisi matematica, ma l'interpretazione che viene data in altre discipline, tipo la fisica, a queste formule.
Tornando al differenziale in una variabile, scrivere $df=f'(x)Deltax$ o $df=f'(x)dx$ è la stessa cosa. Mi spiego.
La definizione di differenziale di una funzione di una sola variabile è $df=f'(x)Deltax$, dove $Deltax$ è una variazione finita di $x$ (naturalmente la funzione deve essere derivabile).
Ma il differenziale $dx$ della funzione $f(x)=x$ è $dx=Deltax$, poiché la sua derivata è $1$. Quindi si può scrivere $dx$ al posto di $Deltax$ nella definizione di differenziale, poiché sono uguali.
In realtà la definizione di differenziale in generale è un po' più complicata, ma per darla serve riferirsi alle funzioni di più variabili.
Nel caso del differenziale di una funzione di una sola variabile la risposta è quella che hai dato tu alla fine: $dx$ è il differenziale della funzione $f(x)=x$.
Ti dico come vedo io questa storia dei $dx$. Il concetto di $dx$ come 'variazione infinitesima' non esiste nell'analisi attuale come noi la studiamo (a meno di non riferirsi alla cosiddetta 'analisi non standard', che però qui non c'entra). In analisi $dx$ o è un differenziale, o è puro simbolo 'muto' negli integrali, dove sta ad indicare la variabile di integrazione. Con $Deltax$ si intende invece in genere una variazione finita, tipo $x_1-x_o$ per intenderci.
La questione di distinguere tra $Deltax$ variazione finita o $dx$ variazione infinitesima non riguarda l'analisi matematica, ma l'interpretazione che viene data in altre discipline, tipo la fisica, a queste formule.
Tornando al differenziale in una variabile, scrivere $df=f'(x)Deltax$ o $df=f'(x)dx$ è la stessa cosa. Mi spiego.
La definizione di differenziale di una funzione di una sola variabile è $df=f'(x)Deltax$, dove $Deltax$ è una variazione finita di $x$ (naturalmente la funzione deve essere derivabile).
Ma il differenziale $dx$ della funzione $f(x)=x$ è $dx=Deltax$, poiché la sua derivata è $1$. Quindi si può scrivere $dx$ al posto di $Deltax$ nella definizione di differenziale, poiché sono uguali.
In realtà la definizione di differenziale in generale è un po' più complicata, ma per darla serve riferirsi alle funzioni di più variabili.
Matematicamente parlando la seconda è corretta all'interno della teoria delle forme differenziali, mentre la prima è una notazione usata nelle applicazioni senza alcuna correttezza matematica. Certo, se uno vuole definire le forme differenziali utilizzando il concetto di differenziale di funzioni allora finisce per avere una definzione circolare.
Ci sono definizioni che non usano le forme differenziali.
P.S.: A rigore negli integrali dx non è un simbolo muto ma fa riferimento alla misura oppure è lo stesso di prima nel senso che si può definire l'integrale di forme differenziali su compatti.
Ci sono definizioni che non usano le forme differenziali.
P.S.: A rigore negli integrali dx non è un simbolo muto ma fa riferimento alla misura oppure è lo stesso di prima nel senso che si può definire l'integrale di forme differenziali su compatti.
"gabriella127":
Tornando al differenziale in una variabile, scrivere $df=f'(x)Deltax$ o $df=f'(x)dx$ è la stessa cosa. Mi spiego.
La definizione di differenziale di una funzione di una sola variabile è $df=f'(x)Deltax$, dove $Deltax$ è una variazione finita di $x$ (naturalmente la funzione deve essere derivabile).
Ma il differenziale $dx$ della funzione $f(x)=x$ è $dx=Deltax$, poiché la sua derivata è $1$. Quindi si può scrivere $dx$ al posto di $Deltax$ nella definizione di differenziale, poiché sono uguali.
QUESTO è sbagliato anche nella teoria della forma differenziali. Il differenziale in un punto è una funzione lineare dello spazio tangente. Quando la funzione è definita su uno spazio vettoriale, come sono \(\displaystyle \mathbb{R} \), \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) e spazi di Banach vari, lo spazio tangente coincide con lo spazio di partenza e quindi si semplifica. Detto in maniera semplicistica il differenziale di una funzione è la funzione “lineare” che meglio approssima la funzione stessa in quel punto. Ho messo lineare tra virgolette perché una funzione lineare nel punto 0 è sempre uguale a 0, quindi si considera in realtà la funzione \(\displaystyle L(h) + f(x) \) dove \(\displaystyle L \) è lineare.
intanto grazie per la risposta!!
il fatto è che sto guardandomi un po' di fisica ma per farlo ho prima fatto un ripasso dei principali strumenti di cui la fisica fa uso...
e appunto ho notato che da un punto di vista rigoroso il $ dx $ della matematica non corrisponde al significato che la fisica ne da ad esso.
Anche perchè interpretare il simbolo $ dx $ come incremento infinitesimo(e non come differenziale) nella formula:
$ df(x)=f'(x)*dx $
significa attribuire al differenziale di "f" in un suo punto una certa quantita df che dipende dalla derivata e da un incremento infinitesimo mentre mi pare che il differenziale $ df $ in un punto Xo (nel caso di una funzione a 1 variabile) dica intuitivamente l'incremento che la retta tangente alla funzione in Xo va in contro se si incrementa il punto Xo di una certa quantità generica $ Delta x $ che puo essere finita o infinitesima...se poi $ Delta xrarr 0 $ allora si potrà aggiungere anche che tale differenziale corrisponde,in prima approssimazione,con l'incremento che la funzione stessa subisce.
Cioè mi pare anche che dire che il differenziale sia semplicemente la variazione che una funzione subisce quando si aumenta di una quantità infinitesima la variabile indipendente sia riduttivo rispetto al concetto di differenziale stesso,in quanto questa definizione rappresenta un caso particolare che è vero quando $ Delta xrarr 0 $ ma se $ Deltax $ NON tende a zero allora definire il differenziale come incremento che la funzione subisce mi pare sbagliato: nel caso piu generale possibile perciò mi sembra piu giusto definire il differenziale come l'incremento che la retta tangente subisce e tale incremento coincide con l'incremento che la funzione stessa subisce solo e solo se $ Deltaxrarr 0 $ .
Percio quando studio fisica $ dx $ come lo interpreto? : come una variazione infinitesima? anche se matematicamente tale concetto di variazione infinitesima associata a tale simbolo non è propriamente corretto in quanto $ dx $ rappresenta un differenziale piu che una variazione infinitesima
il fatto è che sto guardandomi un po' di fisica ma per farlo ho prima fatto un ripasso dei principali strumenti di cui la fisica fa uso...
e appunto ho notato che da un punto di vista rigoroso il $ dx $ della matematica non corrisponde al significato che la fisica ne da ad esso.
Anche perchè interpretare il simbolo $ dx $ come incremento infinitesimo(e non come differenziale) nella formula:
$ df(x)=f'(x)*dx $
significa attribuire al differenziale di "f" in un suo punto una certa quantita df che dipende dalla derivata e da un incremento infinitesimo mentre mi pare che il differenziale $ df $ in un punto Xo (nel caso di una funzione a 1 variabile) dica intuitivamente l'incremento che la retta tangente alla funzione in Xo va in contro se si incrementa il punto Xo di una certa quantità generica $ Delta x $ che puo essere finita o infinitesima...se poi $ Delta xrarr 0 $ allora si potrà aggiungere anche che tale differenziale corrisponde,in prima approssimazione,con l'incremento che la funzione stessa subisce.
Cioè mi pare anche che dire che il differenziale sia semplicemente la variazione che una funzione subisce quando si aumenta di una quantità infinitesima la variabile indipendente sia riduttivo rispetto al concetto di differenziale stesso,in quanto questa definizione rappresenta un caso particolare che è vero quando $ Delta xrarr 0 $ ma se $ Deltax $ NON tende a zero allora definire il differenziale come incremento che la funzione subisce mi pare sbagliato: nel caso piu generale possibile perciò mi sembra piu giusto definire il differenziale come l'incremento che la retta tangente subisce e tale incremento coincide con l'incremento che la funzione stessa subisce solo e solo se $ Deltaxrarr 0 $ .
Percio quando studio fisica $ dx $ come lo interpreto? : come una variazione infinitesima? anche se matematicamente tale concetto di variazione infinitesima associata a tale simbolo non è propriamente corretto in quanto $ dx $ rappresenta un differenziale piu che una variazione infinitesima
"vict85":
[quote="gabriella127"]Tornando al differenziale in una variabile, scrivere $df=f'(x)Deltax$ o $df=f'(x)dx$ è la stessa cosa. Mi spiego.
La definizione di differenziale di una funzione di una sola variabile è $df=f'(x)Deltax$, dove $Deltax$ è una variazione finita di $x$ (naturalmente la funzione deve essere derivabile).
Ma il differenziale $dx$ della funzione $f(x)=x$ è $dx=Deltax$, poiché la sua derivata è $1$. Quindi si può scrivere $dx$ al posto di $Deltax$ nella definizione di differenziale, poiché sono uguali.
QUESTO è sbagliato anche nella teoria della forma differenziali. Il differenziale in un punto è una funzione lineare dello spazio tangente. Quando la funzione è definita su uno spazio vettoriale, come sono \(\displaystyle \mathbb{R} \), \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) e spazi di Banach vari, lo spazio tangente coincide con lo spazio di partenza e quindi si semplifica. Detto in maniera semplicistica il differenziale di una funzione è la funzione “lineare” che meglio approssima la funzione stessa in quel punto. Ho messo lineare tra virgolette perché una funzione lineare nel punto 0 è sempre uguale a 0, quindi si considera in realtà la funzione \(\displaystyle L(h) + f(x) \) dove \(\displaystyle L \) è lineare.[/quote]
Vict, tutto ciò lo so, ma stavo rispondendo nel caso semplificato di una sola variabile a xshadow, che caso mai non studia nemmeno matematica, per non confondergli le idee.
Negli integrali il d'qualcosa' è un simbolo che indica o la misura o la variabile di integrazione, volevo solo dire che non è un differenziale.
Per quanto riguarda la definizione con $Deltax$, è perfettamente rigorosa, anche nella teoria delle forme differenziali e nella definizione di differenziale di funzione di più variabili, cioè caso mai non trovi scritto $Deltax$ nei libri di analisi due, ma $x-x_0$ o $h$, ma è lo stesso. Poi nella forma lineare agli $h_i$ si sostituiscono i $dx_i$, cioè i differenziali delle funzioni proiezione, in tutta analogia con il caso di funzioni di una sola variabile. Purtroppo devo scapppare e non posso spiegarmi meglio scrivendo le formule, caso mai poi le scrivo.
Nella teoria delle forme differenziali il concetto di \(\displaystyle \Delta \) non l'ho mai visto usare. Diciamo che, con una certa semplificazione, si comporta come \(\displaystyle dx \). A rigore, \(\displaystyle dx \) è il differenziale di \(\displaystyle \Delta x \). Ma con qualche semplificazione possono essere considerati paragonabili. Però spesso li trovo usati con significati differenti, per questo ho sconsigliato di usarli in modo intercambiabile. È evidente che se sai quel che fai puoi usare qualsiasi notazione, ma se non lo sai rischi poi di renderti le cose più difficili più avanti.
Trovo comunque che le notazioni su queste cose siano state, con il senno di poi, tra le scelte più infelici di tutta la teoria dell'analisi. Per non parlare poi di quelle legate all'integrazione (forse quelle sono anche peggio dato che esistono vari tipi di integrali e potenzialmente vari tipi di misure per ogni tipologia di integrale). Penso che ad un certo punto si dovrebbe fare il punto della situazione e riorganizzare meglio le cose.
Trovo comunque che le notazioni su queste cose siano state, con il senno di poi, tra le scelte più infelici di tutta la teoria dell'analisi. Per non parlare poi di quelle legate all'integrazione (forse quelle sono anche peggio dato che esistono vari tipi di integrali e potenzialmente vari tipi di misure per ogni tipologia di integrale). Penso che ad un certo punto si dovrebbe fare il punto della situazione e riorganizzare meglio le cose.
"xshadow":
Percio quando studio fisica $ dx $ come lo interpreto? : come una variazione infinitesima? anche se matematicamente tale concetto di variazione infinitesima associata a tale simbolo non è propriamente corretto in quanto $ dx $ rappresenta un differenziale piu che una variazione infinitesima
Siccome tutte le funzioni sono infinitamente differenziabili e sembra tu stia studiando da autodidatta, direi che a seconda dei casi puoi considerarlo come incremento infinitesimo oppure come differenziale della funzione \(\displaystyle f(x) = x - x_0\). E puoi vedere queste due cose come sostanzialmente molto simili, ma tieni conto che stai approssimando la teoria. Specialmente se poi ti metti a semplificare in giro i dx, ma i fisici lo fanno spesso quindi uno in più o uno in meno cambia poco. Il fatto che i fisici usino funzioni infinitamente differenziabili (forse persino analitiche) semplifica molto la teoria.
P.S.: Il \(\displaystyle \cdot \) viene in genere omesso.
grazie ad entrambi...infatti non studio matematica ma chimica...ma piacendomi comunque la matematica volevo fare un po'' di chiarezza senza pero andare a parare in argomenti che si trattano in la negli anni nella laurea in matematica.
Inoltre tutto ciò l'ho chiesto perche alcuni libri che posseggo (e anche su siti internet)davano la definizione di differenziale $ df=f'(x) Delta x $ e poi dicevano dimostravano l'uguaglianza $ Delta x=dx $ ,interpretando percio dx come differenziale( e non incremento infinitesimo) per passare cosi alla seconda definizione: $ df=f'(x)dx $
mentre in altri libri davano solamente la seconda definizione....
Dunque in una prima approssimazione grossolana io il " dx" lo interpreto sia come una quantità infinitesima sia come un differenziale a seconda del caso $ dy $
ad esempio in fisica2 il professore in uno dei suoi appunti ha fatto il ripasso dei principali concetti matematici e in questa immagine trovo il concetto di df e dx/dy
http://tinypic.com/r/2ik9n3k/8
in questo caso dal procedimento fatto per ottenere la variazione infinitesima di una funzione(mediante approssimazione attraverso il differenziale ) mi pare che con $ Delta x $ e $ Delta y $ facciano riferimento a variazioni finite mentre per indicare le corrispettive variazioni infinitesime non utilizzi rispettivamente i simboli $ dx $ o $ dy $ ma bensì la notazione $ Delta xrarr 0 $ e similmente anche per y...percio $ dx $ e $ dy $ nell'ultima riga rappresentano dei differenziali che compongono a loro volta il differenziale $ df $ della funzione in un certo punto,che appunto coincide con la variazione che subisce la funzione stesso a patto che si specifichi che i due incrementi delle variabili indipendenti $ Delta x,Delta yrarr 0 $ (come del resto ha specificato nella penultima riga)
è corretta la mia interpretazione?
grazie
Inoltre tutto ciò l'ho chiesto perche alcuni libri che posseggo (e anche su siti internet)davano la definizione di differenziale $ df=f'(x) Delta x $ e poi dicevano dimostravano l'uguaglianza $ Delta x=dx $ ,interpretando percio dx come differenziale( e non incremento infinitesimo) per passare cosi alla seconda definizione: $ df=f'(x)dx $
mentre in altri libri davano solamente la seconda definizione....
Dunque in una prima approssimazione grossolana io il " dx" lo interpreto sia come una quantità infinitesima sia come un differenziale a seconda del caso $ dy $
ad esempio in fisica2 il professore in uno dei suoi appunti ha fatto il ripasso dei principali concetti matematici e in questa immagine trovo il concetto di df e dx/dy
http://tinypic.com/r/2ik9n3k/8
in questo caso dal procedimento fatto per ottenere la variazione infinitesima di una funzione(mediante approssimazione attraverso il differenziale ) mi pare che con $ Delta x $ e $ Delta y $ facciano riferimento a variazioni finite mentre per indicare le corrispettive variazioni infinitesime non utilizzi rispettivamente i simboli $ dx $ o $ dy $ ma bensì la notazione $ Delta xrarr 0 $ e similmente anche per y...percio $ dx $ e $ dy $ nell'ultima riga rappresentano dei differenziali che compongono a loro volta il differenziale $ df $ della funzione in un certo punto,che appunto coincide con la variazione che subisce la funzione stesso a patto che si specifichi che i due incrementi delle variabili indipendenti $ Delta x,Delta yrarr 0 $ (come del resto ha specificato nella penultima riga)
è corretta la mia interpretazione?
grazie
pareri rispetto all'ultimo messaggio?
il dx dell'allegato nel link è stato interpretato come differenziale o come incremento infinitesimo?
il dx dell'allegato nel link è stato interpretato come differenziale o come incremento infinitesimo?
Lo dico per l'ultima volta.
Se \(f:X\to \mathbb{R}\) e se \(x_0\in X\) è di accumulazione per $X$ da ambo i lati, si dice che $f$ è differenziabile in $x_0$ se esiste un'unica applicazione lineare continua \(L_{x_0}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) tale che:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-L_{x_0}(x-x_0)}{x-x_0} =0\; ;
\]
l'applicazione $L_{x_0}$ si chiama differenziale di $f$ in $x_0$ e si denota col simbolo \(\text{d} f_{x_0} = \text{d} f (\cdot ;x_0)\).
Dato che un'applicazione lineare continua \(L:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) è un'applicazione definita da un'assegnazione del tipo \(h\mapsto L(h)=l\cdot h\) con $l\in \mathbb{R}$, la definizione precedente equivale a dire che $f$ è differenziabile in $x_0$ solo se esiste un numero $l_{x_0}$ tale che:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)- l_{x_0}\cdot (x-x_0)}{x-x_0} =0\; .
\]
Per l'algebra dei limiti si vede che il numero che serve per individuare il differenziale è proprio:
\[
l_{x_0} = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =f^\prime (x_0)
\]
quindi:
\[
\text{d} f(h;x_0) = f^\prime (x_0)\cdot h\; .
\]
Se \(f:X\to \mathbb{R}\) e se \(x_0\in X\) è di accumulazione per $X$ da ambo i lati, si dice che $f$ è differenziabile in $x_0$ se esiste un'unica applicazione lineare continua \(L_{x_0}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) tale che:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-L_{x_0}(x-x_0)}{x-x_0} =0\; ;
\]
l'applicazione $L_{x_0}$ si chiama differenziale di $f$ in $x_0$ e si denota col simbolo \(\text{d} f_{x_0} = \text{d} f (\cdot ;x_0)\).
Dato che un'applicazione lineare continua \(L:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) è un'applicazione definita da un'assegnazione del tipo \(h\mapsto L(h)=l\cdot h\) con $l\in \mathbb{R}$, la definizione precedente equivale a dire che $f$ è differenziabile in $x_0$ solo se esiste un numero $l_{x_0}$ tale che:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)- l_{x_0}\cdot (x-x_0)}{x-x_0} =0\; .
\]
Per l'algebra dei limiti si vede che il numero che serve per individuare il differenziale è proprio:
\[
l_{x_0} = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =f^\prime (x_0)
\]
quindi:
\[
\text{d} f(h;x_0) = f^\prime (x_0)\cdot h\; .
\]
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