Definizione Integrale Curvilineo di I Specie

[liberatorimatteo]

Buonasera, sto cercando di capire la definizione di integrale curvilineo che non mi è affatto chiara. Intanto la scrivo:

Definizione Sia $\gamma$ una curva di classe $C^1$ a tratti di parametrizzazione $\underline{r}:[a,b]->\RR^N$ e sia $f_A->\RR$ una funzione continua, ove $A\subseteq\RR^N$ è un aperto tale che $\underline{r}($ $[a,b]$ $)\subseteqA$. Si definisce integrale curvilineo di prima specie di $f$ lungo $\gamma$ l'integrale

$\int_\gammafds:=\int_a^bf(\underline{r}(t))$ $||\underline{r}'(t)||dt$

Innanzitutto perché devo prendere $f$ che ha come dominio un aperto?
Inoltre $\int_\gammafds$ devo prenderlo solo come un "simbolo" o c'è un modo logico per collegarlo con il membro a destra?
Se ho ben capito $s(t):=\int_a^t||\underline{r}'(\tau)||d\tau$ e quindi $ds=||\underline{r}'(t)||dt$, quindi questo mi spiega perché appare quella norma.

Poi ho un'altra domanda (sotto spoiler) ma mi preme di più capire questa prima parte

Infine so che intuitivamente tale integrale rappresenta la superficie compresa tra la curva e la funzione ma non capisco perché nella formula è presente anche la norma della derivata (detta anche velocità)...
Posso intenderlo come un valore correttivo che mi "aggiusta" i conti nel momento in cui deformo la curva fino a farla diventare un segmento? In quest'ultima domanda sto facendo riferimento a questa immagine:

Se la curva è regolare posso prendere una parametrizzazione $p:[0,l(\gamma)]->\RR^N$ di $\gamma$ tale che

$\int_\gammafds:=\int_0^(l(\gamma))f(\underline{p}(t))dt$

Poiché tale parametrizzazione è tale che $||\underline{p}'(t)||=1$. Questo mi sembra intuitivamente più facile collegarlo col significato geometrico che l'integrale di linea ha, tuttavia anche qui incontro difficoltà perché questo fatto che passo da un "segmento deformato" (la curva) a un segmento normale lo trovo intuitivamente difficile.
Sicuramente sono stato impreciso ma trovo molto difficile capire e formalizzare correttamente questi concetti

[dissonance]

Il dominio aperto non è necessario. La scrittura con il \(ds\) è comoda per il motivo che dici tu, e per altre manipolazioni di tipo urang-utang (grazie Fioravante Patrone) che si usano molto in fisica. La ritroverai in geometria differenziale, nel contesto della geometria Riemanniana, o in analisi superiore, nella teoria della misura.

Lo spoiler non lo ho letto.