Definizione generale di limite.
Buongiorno,
Riporto prima la definizione generale di limite, poi riporta le mie domande\osservazioni.
con $mathbb{R'}$ sarebbe $mathbb{R}$ esteso cioè comprende anche + infinito e - infinito .
Def. Siano $X$ un sottoinsieme di $mathbb{R}$, $x_0 in mathbb{R'}$ un punto di accumulazione per $X$ ed $l in mathbb{R'}$. Se $f:X to mathbb{R}$ è una funzione definita in $X$ si dice che il limite $l$ è il limite di $f$ in $x_0$.
$lim_{x to x_0} f(x)=l$
$**$ Per poter considerare il limite della funzione $x_0$ deve essere di accumulazione. Le mie domande\osservazioni sono:
1 Perché deve essere per forza di accumulazione o meglio non posso calcolare il limite in un altro punto?
2 Se l'insieme $X$ fosse privo di punti di accumulazione?
Alla seguente domanda mi sono risposto:
1 Penso che non avrebbe senso parlare dell'operatore limite, dato che in quel punto $f$ è continua, quindi basterebbe fare l'immagine.
2 Se considero la definizione di punto di accumulazione, la quale dice:
Sia $X$ un sottoinsieme di $mathbb{R}$, Il punto $x_0$ si dice di accumulazione quando in ogni suo intorno cadono infiniti punti di $X$ diversi da $x_0$. Quindi dovrebbe essere un'assurdità.
Cordiali saluti.
Riporto prima la definizione generale di limite, poi riporta le mie domande\osservazioni.
con $mathbb{R'}$ sarebbe $mathbb{R}$ esteso cioè comprende anche + infinito e - infinito .
Def. Siano $X$ un sottoinsieme di $mathbb{R}$, $x_0 in mathbb{R'}$ un punto di accumulazione per $X$ ed $l in mathbb{R'}$. Se $f:X to mathbb{R}$ è una funzione definita in $X$ si dice che il limite $l$ è il limite di $f$ in $x_0$.
$lim_{x to x_0} f(x)=l$
$**$ Per poter considerare il limite della funzione $x_0$ deve essere di accumulazione. Le mie domande\osservazioni sono:
1 Perché deve essere per forza di accumulazione o meglio non posso calcolare il limite in un altro punto?
2 Se l'insieme $X$ fosse privo di punti di accumulazione?
Alla seguente domanda mi sono risposto:
1 Penso che non avrebbe senso parlare dell'operatore limite, dato che in quel punto $f$ è continua, quindi basterebbe fare l'immagine.
2 Se considero la definizione di punto di accumulazione, la quale dice:
Sia $X$ un sottoinsieme di $mathbb{R}$, Il punto $x_0$ si dice di accumulazione quando in ogni suo intorno cadono infiniti punti di $X$ diversi da $x_0$. Quindi dovrebbe essere un'assurdità.
Cordiali saluti.
Risposte
Forse la domanda che prima dovresti porti è ‘qual è l’utilità di un punto di accumulazione?’
"galles90":
Def. Siano $X$ un sottoinsieme di $mathbb{R}$, $x_0 in mathbb{R'}$ un punto di accumulazione per $X$ ed $l in mathbb{R'}$. Se $f:X to mathbb{R}$ è una funzione definita in $X$ si dice che il limite $l$ è il limite di $f$ in $x_0$.
$lim_{x to x_0} f(x)=l$
"È previsto che si veda una definizione di limite nella tua definizione di limite?" [semi-cit.]
E direi che quella non è la definizione di punto di accumulazione
ciao,
questa ho sul mio libro..
non ho capito, cosa vuoi dire, scusami
quando diamo la definizione di punto di accumulazione, vogliamo dire in termini poco formali :
ci possiamo avvicinare quanto si vuole ad un punto $x_0$ di $mathbb{R}$ mediamente gli elementi che gli sono vicini. Forse proprio per questo, i limiti sfruttano questa proprietà per studiare il comportamento di una generica funzione in $x_0$.
"Vulplasir":
E direi che quella non è la definizione di punto di accumulazione
questa ho sul mio libro..
"Raptorista":
"È previsto che si veda una definizione di limite nella tua definizione di limite?" [semi-cit.]
non ho capito, cosa vuoi dire, scusami
"anto_zoolander":
Forse la domanda che prima dovresti porti è ‘qual è l’utilità di un punto di accumulazione?’
quando diamo la definizione di punto di accumulazione, vogliamo dire in termini poco formali :
ci possiamo avvicinare quanto si vuole ad un punto $x_0$ di $mathbb{R}$ mediamente gli elementi che gli sono vicini. Forse proprio per questo, i limiti sfruttano questa proprietà per studiare il comportamento di una generica funzione in $x_0$.
Il discorso in realtà è un po’ più delicato...
La nozione di punto di accumulazione dipende dalla topologia presente su un insieme, o dalla metrica.
La metrica è proprio quella cosa che introduce il concetto di ‘distanza’ tra elementi di un insieme.
Cosa intendi tu per ‘vicini’ quanto si vuole.
Hai idea di cosa sia una metrica?
Sono domande che servono, ma c’è bisofno anche di una visione ampia per capirle.
La nozione di punto di accumulazione dipende dalla topologia presente su un insieme, o dalla metrica.
La metrica è proprio quella cosa che introduce il concetto di ‘distanza’ tra elementi di un insieme.
Cosa intendi tu per ‘vicini’ quanto si vuole.
Hai idea di cosa sia una metrica?
Sono domande che servono, ma c’è bisofno anche di una visione ampia per capirle.
Non so di preciso cosa si vuol dire con metrica, è una cosa che non ho approfondito, ma ti dico quello che so...spero di non dire porcate:
la metrica cambia, in base all'insieme a cui stiamo operando, cioè se mi trovo ad operare su un insieme ad una dimensione ,osso pensare alla retta reale e la distanza è data dalla differenza tra due valori in valore assoluto.
In un intorno generico di $x_0$, escludendo al più il punto di $x_0$.
la metrica cambia, in base all'insieme a cui stiamo operando, cioè se mi trovo ad operare su un insieme ad una dimensione ,osso pensare alla retta reale e la distanza è data dalla differenza tra due valori in valore assoluto.
"anto_zoolander":
Cosa intendi tu per ‘vicini’ quanto si vuole.
In un intorno generico di $x_0$, escludendo al più il punto di $x_0$.
"galles90":
[quote="Raptorista"]"È previsto che si veda una definizione di limite nella tua definizione di limite?" [semi-cit.]
non ho capito, cosa vuoi dire, scusami
[/quote]
Voglio dire che quella che hai scritto non è la definizione di limite. Non è la definizione di niente ad essere precisi.
Una definizione di limite deve contenere degli \(\varepsilon\) e dei \(\delta\) o deve parlare di intorni, e la tua non fa nessuna di queste due cose.
Cerca la definizione corretta su un libro e riportala qui, perché la definizione corretta contiene, io credo, la risposta alla tua domanda.
Su un insieme puoi anche definire due metriche diverse, rispetto alle quali due punti possono essere vicini rispetto ad una e lontani rispetto ad un’altra.
Si ma cosa è ‘un intorno’?
Il discorso è che devi avere chiaro cosa sia un intorno, un aperto e poi come hanno già detto la definizione corretta
Si ma cosa è ‘un intorno’?
Il discorso è che devi avere chiaro cosa sia un intorno, un aperto e poi come hanno già detto la definizione corretta
Eccola quella giusta !!
Def. Siano $ X $ un sottoinsieme di $ mathbb{R} $, $ x_0 in mathbb{R'} $ un punto di accumulazione per $ X $ ed $ l in mathbb{R'} $. Se $ f:X to mathbb{R} $ è una funzione definita in $ X $ si dice che il limite $ l $ è il limite di $ f $ in $ x_0 $.
$ lim_{x to x_0} f(x)=l $
se \(\displaystyle \forall \epsilon>0 \) \(\displaystyle \exists \delta >0 \) tale che \(\displaystyle \forall x \in X \) , con \(\displaystyle 0<|x-x_0|<\delta \) si ha \(\displaystyle |f(x)-l|<\epsilon \).
Quello che posso dire, è :
Quando il limite esiste, l'operatore limite studia il comportamento della funzione in un intorno di \(\displaystyle x_0 \) (rispettivamente destro e sinistro), proprio per questo che deve essere di accumulazione. Ovvero dato che il punto $x_0$ è di accumulazione, abbiamo la possibilità di studiare il comportamento della funzione nei punti vicini a \(\displaystyle x_0 \).
Grazie
Def. Siano $ X $ un sottoinsieme di $ mathbb{R} $, $ x_0 in mathbb{R'} $ un punto di accumulazione per $ X $ ed $ l in mathbb{R'} $. Se $ f:X to mathbb{R} $ è una funzione definita in $ X $ si dice che il limite $ l $ è il limite di $ f $ in $ x_0 $.
$ lim_{x to x_0} f(x)=l $
se \(\displaystyle \forall \epsilon>0 \) \(\displaystyle \exists \delta >0 \) tale che \(\displaystyle \forall x \in X \) , con \(\displaystyle 0<|x-x_0|<\delta \) si ha \(\displaystyle |f(x)-l|<\epsilon \).
Quello che posso dire, è :
Quando il limite esiste, l'operatore limite studia il comportamento della funzione in un intorno di \(\displaystyle x_0 \) (rispettivamente destro e sinistro), proprio per questo che deve essere di accumulazione. Ovvero dato che il punto $x_0$ è di accumulazione, abbiamo la possibilità di studiare il comportamento della funzione nei punti vicini a \(\displaystyle x_0 \).
Grazie
Diciamo che come definizione non è che sia tanto generale...se estendi $RR$ includendo l'infinito, $x-x_0$ quando $x_0$ è infinito che senso ha?
Infatti non capisco se per generale intenda che considera tutti i possibili limiti su $RR$ oppure vorrebbe arrivare agli spazi metrici.. chissà.
Secondo me ha sbagliato definizione riprendendo dal libro...oppure è sbagliata la definizione del libro, scritta cosí secondo me non ha senso, perché considera $R$ esteso, quindi $f(x)-l$ e $x-x_0$ non è che abbiano tanto senso quando $l$ e $x_0$ valgono infinito, lasciando stare gli spazi metrici, ció che renderebbe "generale" questa definizione sarebbe l'uso degli intorni (dopo aver definito l'intorno di + e - infinito), perché scritta cosí vale solo quando $x_0$ e $l$ assumono valore finito.
Per "definizione generale" ad un livello di analisi 1 io intendo questa:
Sia $f:A->RR$ e $x_0 in tildeRR$ un punto di accumulazione di A, si dice che $lim_(x->x_0)f(x)=l in tildeRR$ se:
$AA I(l), EE U(x_0) : AA x in U nn A \\ {x_0} -> f(x) in I(l)$
Essendo $tildeRR$ l'ampliamento di $RR$
Sia $f:A->RR$ e $x_0 in tildeRR$ un punto di accumulazione di A, si dice che $lim_(x->x_0)f(x)=l in tildeRR$ se:
$AA I(l), EE U(x_0) : AA x in U nn A \\ {x_0} -> f(x) in I(l)$
Essendo $tildeRR$ l'ampliamento di $RR$
Si ho sbagliato definizione, perché ho presa una parte da un libro e un'altra parte da un altro libro....sono un po' stressato è il primo esame...perdonatemi per l'errore commesso !!
Comunque la definizione di Vulplasir è esattamente quella riportata sul mio libro.
Le mie domande sono diverse, ma se riuscissi a rispondere a questa, sarei già un passo avanti:
1 L'utilità del punto di accumulazione " che mi ha fatto notare anto_zoolander "
vi dico quello so, sull'utilità del punto di accumulazione, correggetemi se sbaglio
Siano \(\displaystyle X \) un sottoinsieme non vuoto di \(\displaystyle \mathbb{R} \) e \(\displaystyle x_0 \in \mathbb{R} \)
Si dice che \(\displaystyle x_0 \) è di accumulazione per \(\displaystyle X\) se verifica la sefuente condizione:
\(\displaystyle \forall I \in \Im(x_0) : X\cap I -({{x_0}}) \ne \emptyset \)
il vantaggio del punto di accumulazione è : ci da la possibilità di avvicinarci a \(\displaystyle x_0 \) mediante gli elementi distinti da \(\displaystyle x_0 \), quindi di descrivere la funzione in un intorno di \(\displaystyle x_0 \).
Comunque la definizione di Vulplasir è esattamente quella riportata sul mio libro.
Le mie domande sono diverse, ma se riuscissi a rispondere a questa, sarei già un passo avanti:
1 L'utilità del punto di accumulazione " che mi ha fatto notare anto_zoolander "
vi dico quello so, sull'utilità del punto di accumulazione, correggetemi se sbaglio
Siano \(\displaystyle X \) un sottoinsieme non vuoto di \(\displaystyle \mathbb{R} \) e \(\displaystyle x_0 \in \mathbb{R} \)
Si dice che \(\displaystyle x_0 \) è di accumulazione per \(\displaystyle X\) se verifica la sefuente condizione:
\(\displaystyle \forall I \in \Im(x_0) : X\cap I -({{x_0}}) \ne \emptyset \)
il vantaggio del punto di accumulazione è : ci da la possibilità di avvicinarci a \(\displaystyle x_0 \) mediante gli elementi distinti da \(\displaystyle x_0 \), quindi di descrivere la funzione in un intorno di \(\displaystyle x_0 \).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo