Definizione funzioni trigonometriche tramite serie di Taylor
Ciao,
Ho letto su Wikipedia che esiste la possibilità di definire le funzioni trigonometriche (in particolare il seno ed il coseno) tramite le loro serie di Taylor, anzichè tramite le coordinate di un punto sulla circonferenza trigonometrica.
Ad esempio si ha che $\cos(x)=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}$.
Una funzione è ben definita se per ogni $x$ riesco a determinare il valore di $f(x)$. Nel caso precedente sostituendo ad $x$ il valore $0$ riesco a determinare che la serie converge ad $1$ e che pertanto $cos(0)=1$. Non riesco però a calcolare, ad esempio, il valore di $\cos(\frac{\pi}{2})$. Quali teoremi sulle serie devo utilizzare?
Grazie.
Ho letto su Wikipedia che esiste la possibilità di definire le funzioni trigonometriche (in particolare il seno ed il coseno) tramite le loro serie di Taylor, anzichè tramite le coordinate di un punto sulla circonferenza trigonometrica.
Ad esempio si ha che $\cos(x)=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}$.
Una funzione è ben definita se per ogni $x$ riesco a determinare il valore di $f(x)$. Nel caso precedente sostituendo ad $x$ il valore $0$ riesco a determinare che la serie converge ad $1$ e che pertanto $cos(0)=1$. Non riesco però a calcolare, ad esempio, il valore di $\cos(\frac{\pi}{2})$. Quali teoremi sulle serie devo utilizzare?
Grazie.
Risposte
Solo il fatto che quella serie converge ovunque; basta sapere che converge la serie che ti dà l'esponenziale.
La serie giustamente converge ovunque, mi domando però a quale valore converga fissata una data $x$. Ovviamente rispondere che converge a $\cos(x)$ da problemi di circolarità della definizione, quindi la risposta deve essere un'altra.
Guarda, di solito si utilizza ciò che tu dici al contrario, cioè:
La serie $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^(2n)/((2n)!)$ converge per ogni $x\in RR$ a $cos(x)$, allora poichè sappiamo che il coseno a $\pi/2$ vale 0 allora:
$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\pi/2)^(2n)/((2n)!)=0$.
Diverso è invece il ragionamento che si fa nel caso in cui l'argomento del coseno è un po' fuori dagli schemi, ad esempio $x= e^2 \pi/sqrt(59)$. In tal caso si prende in esame la somma parziale
$\sum_{n=0}^N (-1)^n x^(2n)/((2n)!)$. con $N\in NN$ sufficientemente grande per avere una buona approssimazione.
In pratica è il principio con cui sono state costruite le calcolatrici scientifiche (almeno così mi hanno spiegato)
La serie $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^(2n)/((2n)!)$ converge per ogni $x\in RR$ a $cos(x)$, allora poichè sappiamo che il coseno a $\pi/2$ vale 0 allora:
$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\pi/2)^(2n)/((2n)!)=0$.
Diverso è invece il ragionamento che si fa nel caso in cui l'argomento del coseno è un po' fuori dagli schemi, ad esempio $x= e^2 \pi/sqrt(59)$. In tal caso si prende in esame la somma parziale
$\sum_{n=0}^N (-1)^n x^(2n)/((2n)!)$. con $N\in NN$ sufficientemente grande per avere una buona approssimazione.
In pratica è il principio con cui sono state costruite le calcolatrici scientifiche (almeno così mi hanno spiegato)
Una volta che hai definito $cos x, sin x$ con le serie, sai anche che esse si possono prolungare su $CC$ in modo che risultino funzioni intere; inoltre hai la solita relazione $e^("i"x)=cos x+"i"*sin x$ per $x \in RR$ e la solita relazione delle derivate.
A questo punto puoi rappresentare $cosx+"i"*sin x$ nel piano col vettore di componenti $(cos x, sin x)$ e sai che per ogni $x$ vale la relazione $cos^2 x+sin^2 x=1$, cosicchè l'applicazione vettoriale $phi(x):=(cos x, sin x)$ ti sta portando $RR$ sulla circonferenza unitaria.
Si dimostra che tale applicazione è periodica e, per definizione, si chiama $2pi$ il periodo di $phi$; quindi $phi([0,2pi])$ è tutta la circonferenza unitaria.
Con strumenti di tipo Analitico si vede che $\int_0^x |phi(t)|" d"t=x$, cosicché la variabile $x$ misura la lunghezza dell'arco di circonferenza che congiunge $phi(0)=(1,0)$ a $phi(x)$.
Ora dividi la circonferenza unitaria in $4$ parti uguali partendo da $(1,0)$: visto che l'intervallo $[0,2pi]$ è lungo quanto tutta la circonferenza e viene "mappato linearmente" su quella curva (nel senso che $x="lunghezza del segmento d'estremi " (1,0) " e "(cos x, sin x)$), la divisione fatta sulla circonferenza induce un'analoga divisione su $[0,2pi]$.
Il primo punto di tale suddivisione in $[0,2pi]$ è $x_1=pi/2$ al quale corrisponde il punto $phi(pi/2)=(0,1)$: quindi $cos(pi/2)=0$ e $sin (pi/2)=1$.
Non so se mi sono spiegato decentemente.
Ovviamente, per quanto questa sia la via formalmente più corretta per introdurre le funzioni trigonometriche, è la meno accessibile agli studenti.
P.S.: Ma tutto 'sto discorso non sta nell'introduzione di Analisi Reale e Complessa?
A questo punto puoi rappresentare $cosx+"i"*sin x$ nel piano col vettore di componenti $(cos x, sin x)$ e sai che per ogni $x$ vale la relazione $cos^2 x+sin^2 x=1$, cosicchè l'applicazione vettoriale $phi(x):=(cos x, sin x)$ ti sta portando $RR$ sulla circonferenza unitaria.
Si dimostra che tale applicazione è periodica e, per definizione, si chiama $2pi$ il periodo di $phi$; quindi $phi([0,2pi])$ è tutta la circonferenza unitaria.
Con strumenti di tipo Analitico si vede che $\int_0^x |phi(t)|" d"t=x$, cosicché la variabile $x$ misura la lunghezza dell'arco di circonferenza che congiunge $phi(0)=(1,0)$ a $phi(x)$.
Ora dividi la circonferenza unitaria in $4$ parti uguali partendo da $(1,0)$: visto che l'intervallo $[0,2pi]$ è lungo quanto tutta la circonferenza e viene "mappato linearmente" su quella curva (nel senso che $x="lunghezza del segmento d'estremi " (1,0) " e "(cos x, sin x)$), la divisione fatta sulla circonferenza induce un'analoga divisione su $[0,2pi]$.
Il primo punto di tale suddivisione in $[0,2pi]$ è $x_1=pi/2$ al quale corrisponde il punto $phi(pi/2)=(0,1)$: quindi $cos(pi/2)=0$ e $sin (pi/2)=1$.
Non so se mi sono spiegato decentemente.
Ovviamente, per quanto questa sia la via formalmente più corretta per introdurre le funzioni trigonometriche, è la meno accessibile agli studenti.
P.S.: Ma tutto 'sto discorso non sta nell'introduzione di Analisi Reale e Complessa?
"Mathematico":
La serie $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^(2n)/((2n)!)$ converge per ogni $x\in RR$ a $cos(x)$, allora poichè sappiamo che il coseno a $\pi/2$ vale 0 allora:
$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\pi/2)^(2n)/((2n)!)=0$.
Il punto è: come fai a sapere che il coseno di $\frac{\pi}{2}$ è proprio zero? Sviluppando la somma parziale per $n=1$ ottengo $-0.2337005\ldots$ che è molto vicino a zero, ma come faccio a sapere che per $n\rightarrow+\infty$ l'approssimazione tende esattamente a zero?
Spero di essermi spiegato.
Grazie ancora.
@Gugo82
Ancora non ho affrontato lo studio dei numeri complessi, quindi purtroppo non riesco a seguire il tuo discorso. Sinceramente però speravo che le funzioni trigonometriche potessero essere rigorosamente definite restando nell'ambito dei numeri reali...
Ancora non ho affrontato lo studio dei numeri complessi, quindi purtroppo non riesco a seguire il tuo discorso. Sinceramente però speravo che le funzioni trigonometriche potessero essere rigorosamente definite restando nell'ambito dei numeri reali...
Più definizione di quella si muore... Ma non sta scritto da nessuna parte che una definizione debba esser usata anche per fare i calcoli, no?
Se vuoi capire "quanto fa" $cos(pi/2)$ con quella definizione, l'unica strada da seguire è quella che passa per il campo complesso; altre non ne vedo.
Tutto ciò si fa proprio per cercare di evitare il calcolo esplicito, che non porta da nessuna parte.
Se vuoi capire "quanto fa" $cos(pi/2)$ con quella definizione, l'unica strada da seguire è quella che passa per il campo complesso; altre non ne vedo.
Tutto ciò si fa proprio per cercare di evitare il calcolo esplicito, che non porta da nessuna parte.
Forse si puo' dimostrare che $y(x)=cos(x)$ e' periodica senza passare per i complessi dimostrando
(con le proprieta' delle serie di potenze) che $y''+y=0$.
Credo che un'analisi "fatta con le mani" (nel piano delle fasi??) dell'equazione differenziale porti alla conclusione che tutte
le sue soluzioni sono periodiche. In effetti posto $Y:=(y,y')$ dovrebbe essere facile vedere che
$Y'$ e' ortogonale a $Y$, da cui $||Y||=costante$ da cui ...
@booleandomain In effetti, come ha osservato anche Gugo, se segui questa strada devi dire in qualche modo chi e' $\pi$
(con le proprieta' delle serie di potenze) che $y''+y=0$.
Credo che un'analisi "fatta con le mani" (nel piano delle fasi??) dell'equazione differenziale porti alla conclusione che tutte
le sue soluzioni sono periodiche. In effetti posto $Y:=(y,y')$ dovrebbe essere facile vedere che
$Y'$ e' ortogonale a $Y$, da cui $||Y||=costante$ da cui ...
@booleandomain In effetti, come ha osservato anche Gugo, se segui questa strada devi dire in qualche modo chi e' $\pi$
"ViciousGoblin":
Forse si puo' dimostrare che $y(x)=cos(x)$ e' periodica senza passare per i complessi dimostrando
(con le proprieta' delle serie di potenze) che $y''+y=0$.
Credo che un'analisi "fatta con le mani" (nel piano delle fasi??) dell'equazione differenziale porti alla conclusione che tutte
le sue soluzioni sono periodiche. In effetti posto $Y:=(y,y')$ dovrebbe essere facile vedere che
$Y'$ e' ortogonale a $Y$, da cui $||Y||=costante$ da cui...
In effetti sì, mi sa che si può fare pure un'analisi qualitativa delle soluzioni di quell'equazione; però non è che sia molto esperto in materia, quindi ho puntato su qualcosa che sapessi maneggiare un po' meglio.
"Gugo82":
[quote="ViciousGoblin"]Forse si puo' dimostrare che $y(x)=cos(x)$ e' periodica senza passare per i complessi dimostrando
(con le proprieta' delle serie di potenze) che $y''+y=0$.
Credo che un'analisi "fatta con le mani" (nel piano delle fasi??) dell'equazione differenziale porti alla conclusione che tutte
le sue soluzioni sono periodiche. In effetti posto $Y:=(y,y')$ dovrebbe essere facile vedere che
$Y'$ e' ortogonale a $Y$, da cui $||Y||=costante$ da cui...
In effetti sì, mi sa che si può fare pure un'analisi qualitativa delle soluzioni di quell'equazione; però non è che sia molto esperto in materia, quindi ho puntato su qualcosa che sapessi maneggiare un po' meglio.
[/quote]Non ti ho mica rimpoverato ...
Visto che booleandomain non voleva usare i complessi ho proposto una strada che (con un po' di pazienza) dovrebbe permettere
di riottenenere tutti i risultati noti. I punti cruciali mi sembrano, come ho detto prima, l'equaglianza $\cos^2+\sin^2=1$ (che si ricava
facilmente dall'equazione ) e la periodicita' (dunque la definizione di $\pi$) che mi pare un po' piu' delicata (se la si vuole fare rigorosamente).
Sisì, lo so che non rimproveravi...
Però mi hai fatto vedere un'altra strada della quale, per una mia carenza, non mi ero accorto subito; quindi ti ringrazio.
Ora che ci penso, mi servirebbe proprio un buon libro sulle EDO e lo studio qualitativo: consigli?
Però mi hai fatto vedere un'altra strada della quale, per una mia carenza, non mi ero accorto subito; quindi ti ringrazio.
Ora che ci penso, mi servirebbe proprio un buon libro sulle EDO e lo studio qualitativo: consigli?
"Gugo82":
Ora che ci penso, mi servirebbe proprio un buon libro sulle EDO e lo studio qualitativo: consigli?
Mi spiace, non ho grandi idee - molte delle cose che so vengono da "tradizioni orali"
Apprezzerei anch'io dei consigli a proposito.
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