Definizione funzione olomorfa in un punto
Ciao a tutti.
Volevo avere un chiarimento (forse banale...) sulla definizione di funzione olomorfa in punto $z_0$.
citando wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Holomorphic_function si parte dalle definizione di funzione olomorfa su un aperto $U$ e per poi passare a quella di olomorfia in un punto:
"If ƒ is complex differentiable at every point z0 in U, we say that ƒ is holomorphic on U. We say that ƒ is holomorphic at the point z0 if it is holomorphic on some neighborhood of z0"
Adesso la domanda e': l'intorno di $z_0$ che interviene nella def. di olomorfia in un punto deve contenere o no il punto $z_0$ stesso ?
Per es $1/z$ sul piano complesso origine esclusa (che e' un insieme aperto nella topologia standard) e' certamente una funzione olomorfa ma che cosa possiamo dire di essa in $z_0=(0,0)$ ?
grazie.
Volevo avere un chiarimento (forse banale...) sulla definizione di funzione olomorfa in punto $z_0$.
citando wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Holomorphic_function si parte dalle definizione di funzione olomorfa su un aperto $U$ e per poi passare a quella di olomorfia in un punto:
"If ƒ is complex differentiable at every point z0 in U, we say that ƒ is holomorphic on U. We say that ƒ is holomorphic at the point z0 if it is holomorphic on some neighborhood of z0"
Adesso la domanda e': l'intorno di $z_0$ che interviene nella def. di olomorfia in un punto deve contenere o no il punto $z_0$ stesso ?
Per es $1/z$ sul piano complesso origine esclusa (che e' un insieme aperto nella topologia standard) e' certamente una funzione olomorfa ma che cosa possiamo dire di essa in $z_0=(0,0)$ ?
grazie.
Risposte
"some neighborhood of $z_0$" significa un insieme aperto contenente $z_0$.
ok chiaro, quindi la funzione deve esser necessariamente definita anche in $z_0$ (per cui non ha senso porre la questione dell'olomorfia di $1/z$ in $(0,0)$ visto che in questo punto non e' definita)
Cmq notavo che la definizione di olomorfia in un punto richiede in realta' l'olomorfia estesa a tutto un suo intorno. In sostanza ci da informazioni su come deve "comportarsi" la funzione nell'ambito di un intorno a partire dal fatto che e' olomorfa in un punto...
Pensavo alla $f(z)=|z|^2$ che e' C-differenziabile in $z_0=(0,0)$ ma poiche' non e' C-differenziabile in un suo intorno salta la def. stessa di olomorfia in $(0,0)$.
Cmq notavo che la definizione di olomorfia in un punto richiede in realta' l'olomorfia estesa a tutto un suo intorno. In sostanza ci da informazioni su come deve "comportarsi" la funzione nell'ambito di un intorno a partire dal fatto che e' olomorfa in un punto...
Pensavo alla $f(z)=|z|^2$ che e' C-differenziabile in $z_0=(0,0)$ ma poiche' non e' C-differenziabile in un suo intorno salta la def. stessa di olomorfia in $(0,0)$.
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