Definizione funzione analitica
Su Wikipedia ho trovato la seguente definizione di funzione analitica:
Una funzione si dice analitica su un insieme aperto della retta reale se per ogni $x_0$ appartenente a tale insieme si puo' scrivere $f (x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2 (x-x_0)^2+...+a_n (x-x_0)^n+....+$
, e tale espressione risulti convergente ;
non mi e' per nulla chiara, potete darmi qualche delucidazione?
Grazie!
Una funzione si dice analitica su un insieme aperto della retta reale se per ogni $x_0$ appartenente a tale insieme si puo' scrivere $f (x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2 (x-x_0)^2+...+a_n (x-x_0)^n+....+$
, e tale espressione risulti convergente ;
non mi e' per nulla chiara, potete darmi qualche delucidazione?
Grazie!
Risposte
vuol dire che una funzione è analitica se per ogni punto del dominio esiste un intorno di tale punto in cui la funzione coincide col suo sviluppo di Taylor, gli $a_n$ sono i coefficienti della corrispettiva serie di Taylor. una funzione analitica è $C^(\infty)$
Grazie per la risposta, quindi i coefficienti sono in funzione di $x_0$, pertanto ad esempio per $x_0=0$ avremo $a_0=f (0) $, $a_1=f'(0) $, $a_2=(f''(0))/2 $, ecc.ecc., cioe' assumono valori differenti in base al valore di $x_0$, giusto?
Un polinomio suppongo sia analitico, non bisognerebbe pero' dimostrarlo od almeno verificarlo?
Un polinomio suppongo sia analitico, non bisognerebbe pero' dimostrarlo od almeno verificarlo?
Non sono sicuro tu abbia compreso fino in fondo.
Una funzione \(\displaystyle f \) è analitica su un aperto \(\displaystyle U \) se per ogni \(\displaystyle x_0\in U \) esistono un intorno aperto \(\displaystyle V\subseteq U \) di \(\displaystyle x_0 \) e delle costanti \(\displaystyle a_0, a_1, \dotsc \) tali che, per ogni punto \(\displaystyle \bar{x} \in V \), la serie \(\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty} a_i(\bar{x} - x_0)^i \) converge a \(\displaystyle f(\bar{x}) \). È poi vero che i coefficienti in questione coincidono con quelli della serie di Taylor.
Un polinomio è analitico e va dimostrato. In realtà, va persino dimostrato che una qualsiasi funzione definita da una serie sia analitica. Non sono dimostrazioni troppo difficili, specialmente la prima.
Una funzione \(\displaystyle f \) è analitica su un aperto \(\displaystyle U \) se per ogni \(\displaystyle x_0\in U \) esistono un intorno aperto \(\displaystyle V\subseteq U \) di \(\displaystyle x_0 \) e delle costanti \(\displaystyle a_0, a_1, \dotsc \) tali che, per ogni punto \(\displaystyle \bar{x} \in V \), la serie \(\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty} a_i(\bar{x} - x_0)^i \) converge a \(\displaystyle f(\bar{x}) \). È poi vero che i coefficienti in questione coincidono con quelli della serie di Taylor.
Un polinomio è analitico e va dimostrato. In realtà, va persino dimostrato che una qualsiasi funzione definita da una serie sia analitica. Non sono dimostrazioni troppo difficili, specialmente la prima.
Grazie!
x@Vict85.
Potresti darmi una descrizione della dimostrazione per quanto riguarda il caso di un polinomio?
x@Vict85.
Potresti darmi una descrizione della dimostrazione per quanto riguarda il caso di un polinomio?
Considera il polinomio \(\displaystyle p = \sum_{i=0}^n a_ix^i \). Allora hai che \(\displaystyle p = \sum_{i=0}^n a_i(x - x_0 + x_0)^i \). A questo punto non ti rimane che togliere il \(\displaystyle +x_0 \) da dentro la parentesi e hai finito.
Insomma \[\begin{align} p &= \sum_{i=0}^n a_i(x - x_0 + x_0)^i \\
&= \sum_{i=0}^n a_i\sum_{j=0}^i \binom{i}{j} (x - x_0)^j(x_0)^{i-j} \\
&= a_n(x - x_0)^n + \sum_{j=0}^{n-1} (x - x_0)^j \sum_{i=j+1}^n a_i \binom{i}{j} x_0^{i-j} \\
\end{align} \]
Avendo un numero finito di elementi converge sicuramente e su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \), quindi non c'è altro da dimostrare.
Insomma \[\begin{align} p &= \sum_{i=0}^n a_i(x - x_0 + x_0)^i \\
&= \sum_{i=0}^n a_i\sum_{j=0}^i \binom{i}{j} (x - x_0)^j(x_0)^{i-j} \\
&= a_n(x - x_0)^n + \sum_{j=0}^{n-1} (x - x_0)^j \sum_{i=j+1}^n a_i \binom{i}{j} x_0^{i-j} \\
\end{align} \]
Avendo un numero finito di elementi converge sicuramente e su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \), quindi non c'è altro da dimostrare.
Grazie infinite per la dimostrazione, effettivamente hai ragione non ho compreso ancora a fondo l'argomento, da quello che ho capito se considero ad esempio il polinomio di secondo grado
$a_2x^2+a_1x+a_0$, con l'artificio che hai illustrato , al posto della $x $, sostituisco in modo equivalente $(x-x_0+x_0)$, e mostri che si possono isolare i termini in $x_0$, e riscrivere il polinomio di secondo grado ,equivalente, nella forma in $(x-x_0) $, questo e' possibile farlo in generale con ogni polinomio di grado generico $n $, mi sbaglio?
$a_2x^2+a_1x+a_0$, con l'artificio che hai illustrato , al posto della $x $, sostituisco in modo equivalente $(x-x_0+x_0)$, e mostri che si possono isolare i termini in $x_0$, e riscrivere il polinomio di secondo grado ,equivalente, nella forma in $(x-x_0) $, questo e' possibile farlo in generale con ogni polinomio di grado generico $n $, mi sbaglio?
Certo, vale per qualsiasi polinomio. Penso si possa dimostrare in modo più astratto.
x@Vict85.
Ho notato che le argomentazioni da te riportati mi hanno permesso di fare finalmente, qualche passo avanti al fine di comprendere a pieno l'argomento in oggetto!!
Ora ti chiedo possibilmente se puoi
riportare la dimostrazione per quanto riguarda nel caso di una funzione che sia una serie di potenze;
Inoltre la funzione $1/x$, non risulta essere analitica, perche?
La funzione $1/(x+1)$, e'analitica in quanto la si può esprimere come serie di potenze,giusto?
Ho notato che le argomentazioni da te riportati mi hanno permesso di fare finalmente, qualche passo avanti al fine di comprendere a pieno l'argomento in oggetto!!
Ora ti chiedo possibilmente se puoi
riportare la dimostrazione per quanto riguarda nel caso di una funzione che sia una serie di potenze;
Inoltre la funzione $1/x$, non risulta essere analitica, perche?
La funzione $1/(x+1)$, e'analitica in quanto la si può esprimere come serie di potenze,giusto?
Quando ti chiedi se qualcosa è analitico dovresti dire anche dove, quando non dici nulla si intende che lo è su tutto il dominio. Entrambe le funzioni non sono analitiche perché la discontinuità in zero è di seconda specie. Inoltre la composizione di funzioni analitiche è ancora una funzione analitica, quindi in questo caso specifico è evidente che se una delle due è analitica allora lo deve essere anche l'altra.
Quindi ad esempio la funzione $1/(1+x) $, se restringono il dominio della funzione all'intervallo $]-1,1 [$, allora diventa analitica(elimino la discontinuita' ed e' convergente all'interno dell'intervallo), e si ha: $1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+...... $, giusto?
La funzione $1/x $ invece anche se considero come dominio un intervallo esempio $[1,2] $, rimane non analitica, giusto?
La funzione $1/x $ invece anche se considero come dominio un intervallo esempio $[1,2] $, rimane non analitica, giusto?
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