Definizione forma differenziale lineare

[fumandre]

buona sera a tutti
sto studiando le forme differenziali lineari e sfogliando il mio libro di analisi 2 e navigando su internet trovo esclusivamente definizioni di fdl chiuse, fdl esatte, senza riuscire a dare una definizione precisa di cosa sia una forma differenziale lineare. Matematicamente cos'è? Una funzione, o meglio la somma di due funzioni (che poi sono i coefficenti della fdl)?

Perdonate l'ignoranza e vi prego di non rispondere con "guarda meglio sul libro" o cose così, anche perchè ciò andrebbe a discapito dell'utilità di questo forum....

Vi ringrazio
Buona giornata a tutti.

[Euphurio]

Sia $\Omega\subset\R^2$. Si dice forma differenziale in $\Omega$ ogni applicazione $w:\Omega\to\R^2\setminus\{(0,0)\}$ tale che $w(x,y)=a(x,y)dx+b(x,y)dy$ con $a,b:\Omega\to \R$.

Tutte le proprietà di regolarità di $w$ provengono da quelle di $a$ e $b$. Ad esempio $w$ si dice continua se lo sono $a$ e $b$, ecc

[gugo82]

@Euphurio: Ed a questo punto che senso hanno i simboli [tex]$\text{d} x,\ \text{d} y$[/tex]? Tanto vale farli fuori...

In soldoni, tu proponi di identificare una forma differenziale lineare [tex]$w$[/tex] con la [tex]$N$[/tex]-upla ordinata dei suoi coefficienti; questo, in linea teorica non sarebbe del tutto sconveniente, almeno a livello elementare. Tuttavia tale definizione lascia aperta una questione, cioè quella del perchè una forma di tal fatta sia detta lineare (insomma, [tex]$w$[/tex] è lineare rispetto a chi?).

(Credo inoltre ci sia un typo... Infatti non vedo perchè perchè la [tex]$w$[/tex] non possa assumere il valore [tex]$(0,0)$[/tex]. )


@fumandre: Definire per bene cosa sia una forma differenziale lineare non è una cosa semplicissima.
Per mantenere la trattazione a livello elementare, puoi dire così:

Assegnate [tex]$N$[/tex] funzioni [tex]$a_1,\ldots ,a_N: \mathbb{R}^N \ni \Omega \to \mathbb{R}$[/tex] ([tex]$\Omega \neq \varnothing$[/tex]), si chiama forma differenziale lineare su [tex]$\Omega$[/tex] con coefficienti [tex]$a_1,\ldots ,a_N$[/tex] l'applicazione [tex]$\omega$[/tex] definita ponendo:

[tex]$\Omega \times \mathbb{R}^N \ni (x, \text{d} x)=(x_1,\ldots ,x_N, \text{d} x_1,\ldots ,\text{d} x_N)\mapsto \omega (x,\text{d} x):=\sum_{n=1}^N a_n(x)\ \text{d} x_n \in \mathbb{R}$[/tex]

lineare nelle variabili [tex]$\text{d} x_1,\ldots ,\text{d} x_N$[/tex].

Nota che i simboli [tex]$\text{d} x_n$[/tex] in questa definizione non hanno una "valenza intrinseca"; in altre parole, essi sono usati per denotare le variabili reali rispetto le quali [tex]$\omega$[/tex] è lineare, e non dei differenziali.

Poi, se si vuole una definizione rigorosa, bisogna scomodare la Geometria Differenziale... Ma non mi sembra il caso se stai studiando Analisi II.