Definizione flesso f derivabile 2 volte
Ciao, amici! Anche se il mio libro di analisi (1) non lo dice esplicitamente, mi sento piuttosto sicuro (vi prego di correggermi se sbaglio) nell'affermare che, se una funzione $f$ è derivabile due volte, allora si ha che $f''(x_0)=0$ e il segno di $f''$' è opposto a destra e a sinistra di $x_0$ se e solo se $x_0$ è un punto di flesso.
È corretto scrivere in simboli come qui sotto?
$f''(x) in RR$ [direi che si possa dire così che $f$ è derivabile due volte] $=> (( f''(x_0)= 0 and EE\delta>0: AAx_1 in (x_0-\delta,x_0), AAx_2 in (x_0,x_0+\delta), sgn(f''(x_1))=-sgn(f''(x_2)) )$
$ iff x_0 $ è un punto di flesso [size=150])[/size] [e questo lo scrivo a parole per comodità]
$+oo$ grazie a tutti!!!!!!
È corretto scrivere in simboli come qui sotto?
$f''(x) in RR$ [direi che si possa dire così che $f$ è derivabile due volte] $=> (( f''(x_0)= 0 and EE\delta>0: AAx_1 in (x_0-\delta,x_0), AAx_2 in (x_0,x_0+\delta), sgn(f''(x_1))=-sgn(f''(x_2)) )$
$ iff x_0 $ è un punto di flesso [size=150])[/size] [e questo lo scrivo a parole per comodità]
$+oo$ grazie a tutti!!!!!!
Risposte
Bisognerebbe prima sapere qual è la definizione di punto di flesso, per poter stabilire se vale l'equivalenza da te scritta.
"Rigel":
Bisognerebbe prima sapere qual è la definizione di punto di flesso, per poter stabilire se vale l'equivalenza da te scritta.
Concordo, è il solito problema dei punti di flesso. Che non si sa cosa vuol dire, o meglio ognuno ha la "sua" definizione in mente.
Grazie di cuore ad entrambi!!! Non sapevo che esistessero definizioni idiosincratiche di flesso... 
Quella che dà il mio libro (M. Conti, D. L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi matematica vol. 1) è che $x_0$ è un punto di flesso quando, se la funzione è derivabile in $x_0$
$EEax_0:$
$f(x)>f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) AA x in (a,x_0)$
$^^ f(x)
Così formulata vi sono contraddizioni con l'espressione che ho scritto nel post di sopra?
$+oo$ grazie ancora!!!
EDIT: ho specificato che possono valere anche le disuguaglianze inverse.
Quella che dà il mio libro (M. Conti, D. L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi matematica vol. 1) è che $x_0$ è un punto di flesso quando, se la funzione è derivabile in $x_0$$EEa
$f(x)>f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) AA x in (a,x_0)$
$^^ f(x)
Così formulata vi sono contraddizioni con l'espressione che ho scritto nel post di sopra?
$+oo$ grazie ancora!!!
EDIT: ho specificato che possono valere anche le disuguaglianze inverse.
Considera la funzione
\[
f(x) = \begin{cases}
x^2 (2+\sin\frac{1}{x}), & \text{se}\ x>0,\\
0, & \text{se}\ x=0,\\
-x^2 (2+\sin\frac{1}{x}), & \text{se}\ x<0,
\end{cases}
\]
che, secondo la definizione da te riportata, presenta un punto di flesso in $x=0$.
Prova a vedere se soddisfa le condizioni da te scritte.
\[
f(x) = \begin{cases}
x^2 (2+\sin\frac{1}{x}), & \text{se}\ x>0,\\
0, & \text{se}\ x=0,\\
-x^2 (2+\sin\frac{1}{x}), & \text{se}\ x<0,
\end{cases}
\]
che, secondo la definizione da te riportata, presenta un punto di flesso in $x=0$.
Prova a vedere se soddisfa le condizioni da te scritte.
@DavideGenova: prego, per così poco...
Solo una osservazione sulla def: è a mio parere la più approrpiata e anche la più usata, direi.
Come "gusto" personale(*) io lo chiamerei punto di flesso stetto (o "in senso stretto"), usando il "minore o uguale" (anziché il minore stretto) per il punto di flesso "sic et simpliciter".
Ma, comunque, ovviamente la cosa importante è sapere di quale def si sta parlando.
@Rigel: chissà perché è L'ESEMPIO che mi sarei aspettato...
(*) In realtà si tratta di inserire la def di punto di flesso all'interno di un "mio" uso coerente dei termini e delle definizioni (ad esempio, per analogia con la def di punto di massimo etc.)
Solo una osservazione sulla def: è a mio parere la più approrpiata e anche la più usata, direi.
Come "gusto" personale(*) io lo chiamerei punto di flesso stetto (o "in senso stretto"), usando il "minore o uguale" (anziché il minore stretto) per il punto di flesso "sic et simpliciter".
Ma, comunque, ovviamente la cosa importante è sapere di quale def si sta parlando.
@Rigel: chissà perché è L'ESEMPIO che mi sarei aspettato...
(*) In realtà si tratta di inserire la def di punto di flesso all'interno di un "mio" uso coerente dei termini e delle definizioni (ad esempio, per analogia con la def di punto di massimo etc.)
Grazie a tutti!!!
Mi è chiaro che la funzione citata da Rigel soddisfa in x=0 le disuguaglianze
$f(x)=x^2(2+sin(1/x))>f'(0)(x-0)+f(0)=0 AA x>0$
e $f(x)=-x^2(2+sin(1/x))
$f''(0)=lim_(x->0) (f'(x)-f'(0))/(x-0) = (±(2x(2+sin(1/x))-cos(1/x)) -0)/(x-0)$
$= lim_(x->0) ±(4+2sin(1/x)-cos(1/x)/x)$
ma mi pare che questo limite non esista... o sbaglio qualcosa?
$+oo$ grazie di nuovo a tutti e due e a chiunque vorrà contribuire!
Mi è chiaro che la funzione citata da Rigel soddisfa in x=0 le disuguaglianze
$f(x)=x^2(2+sin(1/x))>f'(0)(x-0)+f(0)=0 AA x>0$
e $f(x)=-x^2(2+sin(1/x))
$f''(0)=lim_(x->0) (f'(x)-f'(0))/(x-0) = (±(2x(2+sin(1/x))-cos(1/x)) -0)/(x-0)$
$= lim_(x->0) ±(4+2sin(1/x)-cos(1/x)/x)$
ma mi pare che questo limite non esista... o sbaglio qualcosa?
$+oo$ grazie di nuovo a tutti e due e a chiunque vorrà contribuire!
Se la vuoi derivabile due volte anche nell'origine metti $x^4$ al posto di $x^2$.
Grazie, Rigel! In questo caso osservo che, essendo $d/(dx) (±x^4(2+sin(1/x)))= ±x^2(4x(sin(1/x)+2)-cos(1/x))$ e $d/(dx)f(0)=0$, la derivata seconda in 0 è $d^2/(dx^2) f(0)=lim_(x->0) (±x^2(4x(sin(1/x)+2)-cos(1/x))-0)/(x-0)=0$.
$f$ presenta un flesso in x=0 secondo la definizione del mio libro, ma direi che non si possa definire il segno di $f$ a destra e a sinistra di 0 perché la funzione oscilla infinite volte sopra e sotto 0 in qualunque intorno di x=0...
Quindi toglierei la doppia implicazione e scriverei
$f''(x_0) in RR => (( f''(x_0)= 0 and EE\delta>0: AAx_1 in (x_0-\delta,x_0), AAx_2 in (x_0,x_0+\delta),$
$sgn(f''(x_1))=-sgn(f''(x_2))$[size=150])[/size]$=> x_0 $ è un punto di flesso [size=150])[/size].
Grazie di cuore a tutti di nuovo!!!
$f$ presenta un flesso in x=0 secondo la definizione del mio libro, ma direi che non si possa definire il segno di $f$ a destra e a sinistra di 0 perché la funzione oscilla infinite volte sopra e sotto 0 in qualunque intorno di x=0...
Quindi toglierei la doppia implicazione e scriverei
$f''(x_0) in RR => (( f''(x_0)= 0 and EE\delta>0: AAx_1 in (x_0-\delta,x_0), AAx_2 in (x_0,x_0+\delta),$
$sgn(f''(x_1))=-sgn(f''(x_2))$[size=150])[/size]$=> x_0 $ è un punto di flesso [size=150])[/size].
Grazie di cuore a tutti di nuovo!!!
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