Definizione e verica di limite.

[Kashaman]

Consideriamo di avere $f : A -> RR $ con $A$ sottoinsieme di $RR$ . $x_0 in Dr(A)$. $l in RR$
Si dice che $lim_(x->x_0)(f(x)) = l$
se
$AA \epsilon >0 EE U in I_(x_0) t.c AA x in A , x!=x_0 , |x-x_0| < \delta : |f(x)-l|<\epsilon$ (1). Questa è la classica definizione di limite.
Con $I_(x_0)$ denoto l'insieme degli intorni sferici di centro $x_0$.

Prima domanda, da tale definizione,$\delta$ è univocamente determinato o in corrispondenza di ciascun $\epsilon$ posso trovare più di un
$\delta$?

Seconda , per verificare un limite, mi basta trovare un $\delta$ per cui la 1) è soddisfatta, giusto?
Ad esempio,
voglio mostrare che
$lim_(x->1)(f(x)=x+1)=2$.
Allora , partendo dalla definizione, trovo $\delta$
quindi se $ |f(x)| < \epsilon => |x+1|<\epsilon$ giusto? da cui,essendo $|x+1|<= |x|+1$
ottengo che $ |x+1|<=|x|+1<\epsilon$
quindi $|x|<\epsilon -1 => -\epsilon +1 Quindi se scelgo $\delta = \epsilon -1$ , allora la def di limite scritta sopra è soddisfatta, dico bene?

[Seneca1]

"Kashaman":Prima domanda, da tale definizione,$\delta$ è univocamente determinato o in corrispondenza di ciascun $\epsilon$ posso trovare più di un
$\delta$?

Puoi prendere anche $\delta_1$ tale che $0 < \delta_1 < \delta$ e verificare che va bene ugualmente.

[Kashaman]

Ho capito pertanto in corrispondenza di tale $\epsilon $ si trovano in un certo senso Infiniti $\delta_1$ e tutti tra
$0<\delta_1<\delta$ trovato.
Grazie!

[Kashaman]

Vi posto questa verifica di limite, vedete bene se ho ragionato in modo corretto. (evito di aprire un'altro post)
Ho che devo verificare che
$lim_(x->3) 1/(2x-1) = 1/5$
svolgimento :
Fisso
$\epsilon >0$
Pongo $t= 1/(2x-1)$
ho che
$ |f(x)-1/5| = |1/(2x-1)-1/5| = |t-1/5| < \epsilon => -\epsilon+1/5 Da cui ottengo che
$\{(1/(2x-1) <\1/5(5epsilon+1)),(-1/5(\5epsilon+1) < 1/(2x-1)):}$
Passando ai reciproci

$\{((2x) >\5/(5epsilon+1)+1),((2x) >\-5/(5epsilon+1)+1):}$
da cui

risulta che $|x| < (5/2)*1/(5\epsilon+1)+1$
Quindi se scelgo $\delta = (5/2)*1/(5\epsilon+1)+1$ ladef di limite dovrebbe essere soddisfatta? giusto?
Aspetto conferme, grazie anticipatamente.

[chiaraotta1]

"Kashaman":
.....
Da cui ottengo che
$\{(1/(2x-1) <\1/5(5epsilon+1)),(-1/5(\5epsilon+1) < 1/(2x-1)):}$
Passando ai reciproci

$\{((2x) >\5/(5epsilon+1)+1),((2x) >\-5/(5epsilon+1)+1):}$

Quando passi ai reciproci in realtà dividi per $5epsilon+1$ che è certamente $>0$, ma moltiplichi per $2x-1$, che può essere anche $<0$ .....

[Kashaman]

ci riprovo.
Vediamo un po.
Voglio provare che
$lim_(x->3)1/(2x-1) =1/5$
cioè
$AA \epsilon > 0 EE \delta >0 t.c AA x in RR , x!=3 , x in ]3-\delta , 3+\delta[ : |f(x) -1/5|<\epsilon$
Ora ho che
$|f(x) -1/5|=|1/(2x-1)-1/5|=|(6-2x)/(5*(2x-1))|<\epsilon$ (1)
dalla 1) , per def di valore assoluto, è equivalente a considerare contemporanemente
2) $(6-2x)/(5*(2x-1))<\epsilon$
3)$(6-2x)/(5*(2x-1))>\-epsilon$

dalla due ottengo che
$1/2 dalla tre ottengo che
$x<(6-5\epsilon)/(2-10\epsilon) , x>1/2$ da cui mettendo a sistema le due soluzioni ottengo che
$ x in ] (6-5\epsilon)/(2-10\epsilon) , (6+5\epsilon)/(2+10\epsilon)[$ che è un intorno di tre.
Quindi quel limite è verificato, dove sbaglio?
EDIT
ehm no , non è un intorno di tre.

[theras]

Ciao!

"Kashaman":....
$x<(6-5\epsilon)/(2-10\epsilon) , x>1/2$ da cui mettendo a sistema le due soluzioni ottengo che
$ x in ] (6-5\epsilon)/(2-10\epsilon) , (6+5\epsilon)/(2+10\epsilon)[$ che è un intorno di tre.
Quindi quel limite è verificato, dove sbaglio?

"Solo" nello studio dei segni di entrambe:
forse ti conveniva,per evitare confusioni da stanchezza,
fare in modo che i coefficenti di tutti i polinomi in x sparsi tra i due numeratori ed i due denominatori fossero positivi..

"Kashaman":
EDIT
ehm no , non è un intorno di tre.

Si che lo è!
Magari,quando lo troverai,non sarà circolare:
ma poco te ne cale perchè non deve necessariamente esserlo,
in una def. di limite che è abbastanza semplice capire essere equivalente a quella da te considerata..
Saluti dal web.