Definizione e esempio di serie semplicemente convergente

[tecnomiky]

Salve a tutti, sto studiando la teoria di analisi per l'esame scritto sulla teoria. Tra le possibili domande vi è quella che è il titolo della discussione, non ho capito come devo rispondere mi dubbia il fatto che specifica semplicemente, sarebbe giusto rispondere con la condizione necessaria per la convergenza o no?
Ringrazio chi mi aiuterà

[Magma1]

La convergenza semplice per distinguerla da quella assoluta, tutto qui.

La condizione necessaria per la convergenza (semplice) non è sufficiente, l'esempio classico è $sum 1/x$ dove $lim_(x -> +oo) =0$, mentre la serie diverge (lo si dimostra con il criterio dell'integrale).

Inoltre,

se una serie convergenza assolutamente, allora converge (semplicemente)[nota]$p rArr q$[/nota]

che è equivalente a dire che

se la serie non converge semplicemente, allora non converge assolutamente. [nota]$¬q rArr ¬p$[/nota]

Mentre la negazione è

la serie non convergenze assolutamente e converge (semplicemente)![nota]$¬(p rArr q) = p ^^ ¬q$[/nota]

EDIT: modifica svista!

[tecnomiky]

Ma la definizione di serie semplicemente convergente quale sarebbe? Questa dove hai messo a confronto convergenza semplice con quella assoluta? E che esempio di serie semplicemente convergente posso fare?

[Magma1]

Dato $s_n=sum_(k=0)^n a_k$

Se $lim_(n->+oo) s_n= lambda in RR rArr sum_(k=0)^(oo) a_n$ è convergente

Mentre se $sum_(k=0)^(oo) abs(a_n )$ converge allora la serie $sum_(k=0)^(oo) a_n$ si dirà assolutamente convergente.

Ora penso sia immediato trovare un esempio


EDIT: Aggiunta $lambda in RR$

[tecnomiky]

Ci ho pensato ma non ho trovato un esempio, che esempio potrei fare?

[Magma1]

Per le serie convergenti ci sono le serie telescopiche, armoniche (ovviamente la convergenza non è sempre assicurata ) e la serie di Mengoli

[anto_zoolander]

"Magma":Per le serie convergenti ci sono le serie telescopiche, armoniche (ovviamente la convergenza non è sempre assicurata ) e la serie di Mengoli

Ma la serie di mengoli è telescopica

[Fioravante Patrone1]

"Magma":
...
La condizione sufficiente per la convergenza (semplice) non è sufficiente, l'esempio classico è $sum 1/x$ dove $lim_(x -> +oo) =0$, mentre la serie diverge (lo si dimostra con il criterio dell'integrale).
...

Metto in evidenza una (ovvia) svista, solo perché mi pare che nessuno l'abbia notato.
Chiaramente Magma intendeva scrivere "necessaria".

Già che ci sono, nella definizione di serie convergente riportata da Magma avrei aggiunto la condizione che $\lambda$ sia un numero reale. In modo da evitare possibili dubbi.

Perché si parla di serie "semplicemente" convergenti, visto che di fatto (in teoria e in prassi) si tratta di serie convergenti? Per rimarcare il fatto che non si sta parlando di convergenza assoluta, anche qui per evitare possibili dubbi in chi legge.

[tecnomiky]

"Magma":La convergenza semplice per distinguerla da quella assoluta, tutto qui.

La condizione necessaria per la convergenza (semplice) non è sufficiente, l'esempio classico è $sum 1/x$ dove $lim_(x -> +oo) =0$, mentre la serie diverge (lo si dimostra con il criterio dell'integrale).

Inoltre,

se una serie convergenza assolutamente, allora converge (semplicemente)[nota]$p rArr q$[/nota]

che è equivalente a dire che

se la serie non converge semplicemente, allora non converge assolutamente. [nota]$¬q rArr ¬p$[/nota]

Mentre la negazione è

la serie non convergenze assolutamente e converge (semplicemente)![nota]$¬(p rArr q) = p ^^ ¬q$[/nota]

EDIT: modifica svista!

Mi puoi spiegare l'ultima parte? cioè la negazione che non ho capito

[tecnomiky]

"Magma":Dato $s_n=sum_(k=0)^n a_k$

Se $lim_(n->+oo) = lambda in RR rArr sum_(k=0)^(oo) a_n$ è convergente

Mentre se $sum_(k=0)^(oo) abs(a_n )$ converge allora la serie $sum_(k=0)^(oo) a_n$ si dirà assolutamente convergente.

Ora penso sia immediato trovare un esempio


EDIT: Aggiunta $lambda in RR$

Ma il limite di chi calcoli?