Definizione differenziabilità
Ho letto la definizione di differenziabilità, ma quando vado ad applicarla sorgono molti dubbi
Per esempio, data $ f:R^2 ⟶ R $ con $ f(x,y) = (7x^3 y^7) / (x^2+y^2)^(1/7) $ per $ (x,y) ≠ (0,0) $ e $ f(0,0) = 0 $ , stabilire se f è differenziabile in (0,0) e scriverne il differenziale.
Ho pensato di scrivere $ f(x,y) - f(0,0) = Df(0,0) + o(x,y) $ ma non saprei che conclusioni trarne.
Oppure data $ f:R^2 ⟶ R $ con $ f(x,y) = (x^2 + y^2 + x) /(x^2 + y^2)^(1/2) $ per ogni $ (x,y) ≠ (0,0) $ e $ f(0,0) = 0 $ , stessa domanda di sopra. In questo caso però viene che non è differenziabile.
Perchè?
Per esempio, data $ f:R^2 ⟶ R $ con $ f(x,y) = (7x^3 y^7) / (x^2+y^2)^(1/7) $ per $ (x,y) ≠ (0,0) $ e $ f(0,0) = 0 $ , stabilire se f è differenziabile in (0,0) e scriverne il differenziale.
Ho pensato di scrivere $ f(x,y) - f(0,0) = Df(0,0) + o(x,y) $ ma non saprei che conclusioni trarne.
Oppure data $ f:R^2 ⟶ R $ con $ f(x,y) = (x^2 + y^2 + x) /(x^2 + y^2)^(1/2) $ per ogni $ (x,y) ≠ (0,0) $ e $ f(0,0) = 0 $ , stessa domanda di sopra. In questo caso però viene che non è differenziabile.
Perchè?
Risposte
Definizione di differenziabilità: Sia $f: A subset RR^n -> RR$ un campo scalare definito in $A$ aperto, sia $P_0 in A$ un punto di accumulazione per $A$, f si dice differenziabile in $P_0$ se esiste un vettore $vec(u) in RR^n$ tale che:
$f(P)-f(P_0)=vec(u)*(P-P_0)+o(||P-P_0||)$ per $P->P_0$
Teorema: Se f è differenziabile in $P_0$ allora il vettore $vec(u)$ è il vettore gradiente di $f$ in $P_0$, ossia $vec(u)=gradf(P_0)$, pertanto si può dire che:
f è differenziabile in $P_0$ se e solo se f derivabile in $P_0$ e risulta
$f(P)-f(P_0)=grad(P_0)*(P-P_0)+o(||P-P_0||)$ per $P->P_0$
Pertanto in base all'ultima affermazione, per verificare che una funzione è differenziabile in un certo punto devi fare due cose:
1) verificare che la funzione è derivabile in quel punto
2) verificare che sia verificata la definizione di differenziabilità, che non è altro che un limite se sai a cosa corrispondono gli o-piccoli.
$f(P)-f(P_0)=vec(u)*(P-P_0)+o(||P-P_0||)$ per $P->P_0$
Teorema: Se f è differenziabile in $P_0$ allora il vettore $vec(u)$ è il vettore gradiente di $f$ in $P_0$, ossia $vec(u)=gradf(P_0)$, pertanto si può dire che:
f è differenziabile in $P_0$ se e solo se f derivabile in $P_0$ e risulta
$f(P)-f(P_0)=grad(P_0)*(P-P_0)+o(||P-P_0||)$ per $P->P_0$
Pertanto in base all'ultima affermazione, per verificare che una funzione è differenziabile in un certo punto devi fare due cose:
1) verificare che la funzione è derivabile in quel punto
2) verificare che sia verificata la definizione di differenziabilità, che non è altro che un limite se sai a cosa corrispondono gli o-piccoli.
È verificare che è derivabile il problema, devo fare un altro limite? Continuo a provarci senza risultati
Dire che f è derivabile significa che esistono le derivate parziali.
Qual è la definizione di derivata parziale di f rispetto a x e rispetto a y calcolate in $(x_0,y_0)$? È tutta una questione di definizione, se non sai quelle devi ripassartele.
Qual è la definizione di derivata parziale di f rispetto a x e rispetto a y calcolate in $(x_0,y_0)$? È tutta una questione di definizione, se non sai quelle devi ripassartele.
Forse posso dire che è derivabile rispetto a x poiché il $ \lim_{h\rightarrow 0} $ $ (f(h,0) - f(0,0 ))/h $ esiste ed è uguale a 0
Stessa cosa per y, quindi il gradiente è $ (0,0) $
E' differenziabile perché $ \lim_{h\rightarrow 0} $ $ (f(h,h)-f(0,0))/h = (7h^10)/(h*(2h^2)^(1/7)) = 0 $
Si fa così?
Stessa cosa per y, quindi il gradiente è $ (0,0) $
E' differenziabile perché $ \lim_{h\rightarrow 0} $ $ (f(h,h)-f(0,0))/h = (7h^10)/(h*(2h^2)^(1/7)) = 0 $
Si fa così?
Sr non sai la definizione di derivata parziale io non posso aiutarti. Prima di fare gli esercizi bisogna sapere bene la teoria.
significa che quello che ho scritto sopra è tutto sbagliato?
La derivata parziale rispetto a x calcolata in un punto $(x_0,y_0)$ è:
$lim_(x->x_0) (f(x,y_0)-f(x_0,y_0))/(x-x_0)$
In questo caso è $(x_0,y_0)=(0,0)$, pertanto si ha:
$lim_(x->0) (f(x,0)-f(0,0))/x=0$
Stessa cosa per la derivata rispetto a y, anch'essa vale 0, pertanto il gradiente è $gradf(0,0)=(0,0)$
Passando alla definizione di differenziabilità si ha che per (x,y) che tendono a $(0,0)$ deve valere:
$f(x,y)-f(0,0)=gradf(0,0)*(x,y)+o(sqrt(x^2+y^2))$
Sapendo cosa significano gli o--piccoli, quello appena scritto significa che deve valere il seguente limite:
$lim_((x,y)-(0,0)) (f(x,y)-f(0,0)-gradf(0,0)*(x,y))/(sqrt(x^2+y^2))=0$
Sapendo che $f(0,0)=0$ e $gradf(0,0)=(0,0)$ devi quindi verificare che risulti vero il limite:
$lim_((x,y)->(0,0))f(x,y)/(sqrt(x^2+y^2))=0$
Se tale limite risulta vero allora f è differenziabile in (0,0), se non risulta vero allora non è differenziabile. Stesso ragionamento si applica anche all'altra funzione.
$lim_(x->x_0) (f(x,y_0)-f(x_0,y_0))/(x-x_0)$
In questo caso è $(x_0,y_0)=(0,0)$, pertanto si ha:
$lim_(x->0) (f(x,0)-f(0,0))/x=0$
Stessa cosa per la derivata rispetto a y, anch'essa vale 0, pertanto il gradiente è $gradf(0,0)=(0,0)$
Passando alla definizione di differenziabilità si ha che per (x,y) che tendono a $(0,0)$ deve valere:
$f(x,y)-f(0,0)=gradf(0,0)*(x,y)+o(sqrt(x^2+y^2))$
Sapendo cosa significano gli o--piccoli, quello appena scritto significa che deve valere il seguente limite:
$lim_((x,y)-(0,0)) (f(x,y)-f(0,0)-gradf(0,0)*(x,y))/(sqrt(x^2+y^2))=0$
Sapendo che $f(0,0)=0$ e $gradf(0,0)=(0,0)$ devi quindi verificare che risulti vero il limite:
$lim_((x,y)->(0,0))f(x,y)/(sqrt(x^2+y^2))=0$
Se tale limite risulta vero allora f è differenziabile in (0,0), se non risulta vero allora non è differenziabile. Stesso ragionamento si applica anche all'altra funzione.
grazie mille
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