Definizione di trasformata di Fourier in L2

[jumpy83-votailprof]

Salve a tutti, sto affrontando lo studio di Analisi 3 (per alcuni metodi matematici per l'ingegneria) e mi sono accorto che nel libro c'è la definizione della trasformata di Fourier solo per \(\displaystyle L1\) (non riesco a mettere l'1 all'esponente) e il professore nel compito orale (è scritto) ha richiesto la definizione in L2.
Qualcuno saprebbe darmi una definizione che potrei usare?
Grazie in anticipo

[jumpy83-votailprof]

Guardando alcune dispense trovate su internet ho trovato scritto (in una di essa) che la trasformata di Fourier in L2 si ottiene "cambiando" l'integrale in R con l'integrale in valore principale.
Ora mi chiedo basta solo questo o devo aggiungere altre ipotesi?

[6KIRA6]

Presupponendo conoscenze sulle Distribuzioni, sai che lo spazio delle fuzioni a decrescenza rapida $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ si immerge con densità in $\mathcal{L}^2(\mathbb{R})$, e dalla riflessività di $\mathcal{L}^2(\mathbb{R})$ si evince che questo si immerge con densità nello spazio di distribuzioni $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$, detto di Schwarz. Noto dunque come è definita la trasformata di Fourier per le distribuzioni temperate si può, per densità, estenderla per funzioni di $\mathcal{L}^2(\mathbb{R})$, viste come distribuzioni.

[jumpy83-votailprof]

"6KIRA6":Presupponendo conoscenze sulle Distribuzioni, sai che lo spazio delle fuzioni a decrescenza rapida $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ si immerge con densità in $\mathcal{L}^2(\mathbb{R})$, e dalla riflessività di $\mathcal{L}^2(\mathbb{R})$ si evince che questo si immerge con densità nello spazio di distribuzioni $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$, detto di Schwarz. Noto dunque come è definita la trasformata di Fourier per le distribuzioni temperate si può, per densità, estenderla per funzioni di $\mathcal{L}^2(\mathbb{R})$, viste come distribuzioni.

Vero non ci pensavo che potevo ottenere la definizione attraverso le distribuzioni! Grazie di avermi aperto gli occhi!

[6KIRA6]

Dovere.

[jumpy83-votailprof]

Ho abbozzato una definizione
https://docs.google.com/file/d/0B6aPdpe1heWwUkJlQk9KZU1fYW8/edit
Può andare?