Definizione di successione fondamentale in uno spazio metrico generico.
Buonasera. Sto leggendo e capendo la definizione di successione fondamentale nel caso degli spazi metrici.
Sia $(X,d)$ spazio metrico e una successione ${x_n}$ di valori di $X$.
Si dice che ${x_n}$ è una successione fondamentale se $lim_(n,m to + infty) d(x_n, x_m)=0$
Un tale limite come si calcola ? si deve procedere "scomponendo" il limite, cioè
Sia $(X,d)$ spazio metrico e una successione ${x_n}$ di valori di $X$.
Si dice che ${x_n}$ è una successione fondamentale se $lim_(n,m to + infty) d(x_n, x_m)=0$
Un tale limite come si calcola ? si deve procedere "scomponendo" il limite, cioè
$lim_(n,m to + infty) d(x_n, x_m)=lim_(m to + infty)(lim_(n to + infty)d(x_n, x_m))$
In pratica, e nel caso specifico, fisso prima $m$ e faccio tendere $n$ all'infinito e poi infine faccio tendere $m$ all'infinito.
Risposte
Non è ben scritto, hai ragione a protestare, quel limite per "n, m che tendono a infinito" non è ben definito. Anche se nella pratica si capisce cosa si intenda, per quello a volte l'ho visto. In modo particolare, NON devi "scomporre il limite", come dici tu.
Leggi qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_se ... tric_space
Leggi qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_se ... tric_space
Buongiorno, grazie per il link consigliato è stato utilissimo.
Si quel simbolo può essere scritto in maniera equivalente usando la notazione $(epsi, N)$, cioè
$lim_(m,n to + infty)d(x_n, x_m)=0 <=> ^ (def.) forall epsi >0 exists N_epsi>0$ per cui presi $n,m >N_epsi$ risulta $d(x_n, x_m)
Non riporto i passaggi precedenti i quali mi hanno permesso di ricavarmi la seguente
$lim_(n to + infty)d(x_n,x_m)<=lim_(n to + infty)d(x_1, x_0)rho^msum_(k=0)^(n-1-m)rho^k$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=d(x_1,x_0)rho^mlim_(n to + infty)sum_(k=0)^(n-1-m)rho^k$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=d(x_1,x_0)rho^mlim_(n to + infty)sum_(k=0)^(+ infty)rho^k$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=d(x_1,x_0)rho^m/(1-rho)$
2)$lim_(m to + infty)lim_(n to + infty) d(x_n, x_m)=lim_(m to + infty) d(x_1, x_0) rho^m/(1-p)=0$, allora $lim_(m,n to + infty) d(x_n, x_m)=0.$
Quello che ha fatto la prof. dovrebbe essere interpretato cosi:
1) una volta fissato $m$ ho una successione con un solo termine $x_n$ libero, per cui il comportamento è in
funzione solo di $x_n$
2) questo punto non so commentarlo, infatti da qui il mio topic.
Si quel simbolo può essere scritto in maniera equivalente usando la notazione $(epsi, N)$, cioè
$lim_(m,n to + infty)d(x_n, x_m)=0 <=> ^ (def.) forall epsi >0 exists N_epsi>0$ per cui presi $n,m >N_epsi$ risulta $d(x_n, x_m)
"dissonance":Dico questa cosa poiché leggendo la dimostrazione del teorema delle contrazione, la prof. ha fatto i seguenti passaggi:
In modo particolare, NON devi "scomporre il limite"
Non riporto i passaggi precedenti i quali mi hanno permesso di ricavarmi la seguente
$d(x_n, x_m)<=d(x_1, x_0)rho^msum_(k=0)^(n-1-m)rho^k$
1) $m$ fissato$lim_(n to + infty)d(x_n,x_m)<=lim_(n to + infty)d(x_1, x_0)rho^msum_(k=0)^(n-1-m)rho^k$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=d(x_1,x_0)rho^mlim_(n to + infty)sum_(k=0)^(n-1-m)rho^k$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=d(x_1,x_0)rho^mlim_(n to + infty)sum_(k=0)^(+ infty)rho^k$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=d(x_1,x_0)rho^m/(1-rho)$
2)$lim_(m to + infty)lim_(n to + infty) d(x_n, x_m)=lim_(m to + infty) d(x_1, x_0) rho^m/(1-p)=0$, allora $lim_(m,n to + infty) d(x_n, x_m)=0.$
Quello che ha fatto la prof. dovrebbe essere interpretato cosi:
1) una volta fissato $m$ ho una successione con un solo termine $x_n$ libero, per cui il comportamento è in
funzione solo di $x_n$
2) questo punto non so commentarlo, infatti da qui il mio topic.
Qualcuno che può aiutarmi... 
ciao non sono molto avanzato con gli studi quindi prendi quello che ti scriverò con le pinze.
se questa formula che hai scritto è vera 1* $ lim_(n,m to + infty) d(x_n, x_m)=lim_(m to + infty)(lim_(n to + infty)d(x_n, x_m)) $ e ipotizzo che ( poiché non ci sono i passaggi precedenti non so cosa sia p anche se per avere i risultati che hai ottenuto deve essere) $ 0
Dal primo punto ottieni che $ lim_(n to + infty)d(x_n,x_m)<=lim_(n to + infty)d(x_1, x_0)rho^msum_(k=0)^(n-1-m)rho^k $ $ rArr $ $ lim_(n to + infty)d(x_n,x_m)<=d(x_1, x_0)rho^mlim_(n to + infty)sum_(k=0)^(n-1-m)rho^k $ $ rArr $ $ lim_(n to + infty)d(x_n,x_m)<= d(x_1, x_0)rho^m lim_(n to + infty) ( (1-rho^(n-m)) /(1-rho )) $ dove chiaramente il limite fa $ 1/(1-rho ) $ e quindi ottengo il tuo stesso risultato.
Ora che hai calcolato il limite per n, sempre guardando la formula 1* puoi sostituire il risultato trovato e proseguire per m.
$ lim_(m to + infty)lim_(n to + infty) d(x_n, x_m) <= lim_(m to + infty) d(x_1, x_0) rho^m/(1-p)=0 $ $ rArr $ $ lim_(m to + infty)lim_(n to + infty) d(x_n, x_m) = lim_(m,n to + infty) d(x_n, x_m)<= 0 $
ora qui bisogna fare una considerazione, ovvero che in uno spazio metrico $ d(x_n, x_m)>= 0 $ per ogni $ x_n , x_m $ e quindi esiste una sola relazione valida ovvero $ lim_(m,n to + infty) d(x_n, x_m)=0 $.
spero di aver detto cose sensate e per lo più non errate
se questa formula che hai scritto è vera 1* $ lim_(n,m to + infty) d(x_n, x_m)=lim_(m to + infty)(lim_(n to + infty)d(x_n, x_m)) $ e ipotizzo che ( poiché non ci sono i passaggi precedenti non so cosa sia p anche se per avere i risultati che hai ottenuto deve essere) $ 0
Dal primo punto ottieni che $ lim_(n to + infty)d(x_n,x_m)<=lim_(n to + infty)d(x_1, x_0)rho^msum_(k=0)^(n-1-m)rho^k $ $ rArr $ $ lim_(n to + infty)d(x_n,x_m)<=d(x_1, x_0)rho^mlim_(n to + infty)sum_(k=0)^(n-1-m)rho^k $ $ rArr $ $ lim_(n to + infty)d(x_n,x_m)<= d(x_1, x_0)rho^m lim_(n to + infty) ( (1-rho^(n-m)) /(1-rho )) $ dove chiaramente il limite fa $ 1/(1-rho ) $ e quindi ottengo il tuo stesso risultato.
Ora che hai calcolato il limite per n, sempre guardando la formula 1* puoi sostituire il risultato trovato e proseguire per m.
$ lim_(m to + infty)lim_(n to + infty) d(x_n, x_m) <= lim_(m to + infty) d(x_1, x_0) rho^m/(1-p)=0 $ $ rArr $ $ lim_(m to + infty)lim_(n to + infty) d(x_n, x_m) = lim_(m,n to + infty) d(x_n, x_m)<= 0 $
ora qui bisogna fare una considerazione, ovvero che in uno spazio metrico $ d(x_n, x_m)>= 0 $ per ogni $ x_n , x_m $ e quindi esiste una sola relazione valida ovvero $ lim_(m,n to + infty) d(x_n, x_m)=0 $.
spero di aver detto cose sensate e per lo più non errate
La spiegazione della tua prof è un po' confusa, per come la hai riportata tu. Ma questa è una dimostrazione classica, la puoi trovare ovunque, qui ad esempio: https://en.wikipedia.org/wiki/Banach_fi ... nt_theorem
@ Andelf67 questa posizione $ lim_(n,m to + infty) d(x_n, x_m)=lim_(m to + infty)(lim_(n to + infty)d(x_n, x_m)) $ seguiva, da come puoi leggere nella discussione, da un passaggio della mia professoressa fatto durante la dimostrazione del teorema di Banach-Cacciopoli sulle contrazioni.
Prima che postavo la domanda
@dissonance hai ragione che la dimostrazione è confusa 
Comunque ci sta un errore di battitura nel punto 2) cioè invece di $=$ ci vuole $le$.
Leggerò la dimostrazione su un altro testo (Stampacchia- Analsi due) e vedo se si presentono problemi.
Per il momento grazie !
Prima che postavo la domanda
"Yuyu_13":ero già, diciamo in modo parziale, a conoscenza che tale tecnica non si può usare, basta vedere i limiti in due variabili. Quello che tu hai scritto sono le stesse mie interpretazione, però rimangono appese.
Un tale limite come si calcola ? si deve procedere "scomponendo" il limite, cioè$ lim_(n,m to + infty) d(x_n, x_m)=lim_(m to + infty)(lim_(n to + infty)d(x_n, x_m)) $In pratica, e nel caso specifico, fisso prima $ m $ e faccio tendere $ n $ all'infinito e poi infine faccio tendere $ m $ all'infinito.
@dissonance hai ragione che la dimostrazione è confusa
Comunque ci sta un errore di battitura nel punto 2) cioè invece di $=$ ci vuole $le$.
Leggerò la dimostrazione su un altro testo (Stampacchia- Analsi due) e vedo se si presentono problemi.
Per il momento grazie !
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