Definizione di sistema iperbolico
Sto studiando su degli appunti una semplice definizione ma c'è qualcosa che non mi torna.
Gli appunti che ho dicono:
Un sistema strettamente iperbolico quasi lineare è una cosa del tipo:
$u_t+\sum_{j=1}^n A_j(t,x,u)\partial_ju=g(t,x,u)$
dove $u\in\mathbb{R}^N, t\in\mathbb{R}, x\in\mathbb{R}$
inoltre se $a\inS^{n-1}, |a|=1$ allora la matrice $\sum_{j=1}^nA_j(t,x,u)\a_j$ ha $n$ autovalori reali e distinti.
Quello che mi chiedo è:
$x\in\mathbb{R}$ oppure in $\mathbb{R}^n$?
$a\inS^{n-1}$ Ma $S^{n-1}$ che spazio è?
$A_j$ da quello che fa dopo direi che è una matrice $n\times n$ però se fosse così $\sum_{j=1}^nA_j(t,x,u)\a_j$ non sarebbe una matrice quadrata?
Cosa si intende per $\partial_ju$? la derivata parziale di $u$ rispetto a $x_j$?
Qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi?
Grazie
Gli appunti che ho dicono:
Un sistema strettamente iperbolico quasi lineare è una cosa del tipo:
$u_t+\sum_{j=1}^n A_j(t,x,u)\partial_ju=g(t,x,u)$
dove $u\in\mathbb{R}^N, t\in\mathbb{R}, x\in\mathbb{R}$
inoltre se $a\inS^{n-1}, |a|=1$ allora la matrice $\sum_{j=1}^nA_j(t,x,u)\a_j$ ha $n$ autovalori reali e distinti.
Quello che mi chiedo è:
$x\in\mathbb{R}$ oppure in $\mathbb{R}^n$?
$a\inS^{n-1}$ Ma $S^{n-1}$ che spazio è?
$A_j$ da quello che fa dopo direi che è una matrice $n\times n$ però se fosse così $\sum_{j=1}^nA_j(t,x,u)\a_j$ non sarebbe una matrice quadrata?
Cosa si intende per $\partial_ju$? la derivata parziale di $u$ rispetto a $x_j$?
Qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi?
Grazie
Risposte
Suppongo che la soluzione $u$, essendo una funzione vettoriale, sia definita in questo modo
$$u:\mathbb{R}\times \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^N$$
avendosi $u=(u_1,\ldots,u_N)$ e $u_j=u_j(t,x),\ \forall\ j=1,\ldots,N$.
Ovviamente $x\in \mathbb{R}^n$, mentre per definizione
$$S^{n-1}=\{x\in \mathbb{R}^n\ |\ ||x||=1\}\subset \mathbb{R}^n$$
è la sfera di centro l'origine e raggio 1 (sfera inteso come bordo della palla).
Le $A_j(t,x,u)$ sono matrici di funzioni tutte dipendenti dalle variabili indicate, mentre le $\partial_j u=\frac{\partial u}{\partial x_j},\ j=1,\ldots,n$. Se tu volessi scrivere le singole equazioni di tale sistema, avresti
$$(u_k)_t+\sum_{j=1}^n (A_j)_k(t,x,u)\cdot \partial_j u_k=g_k(t,x,u),\qquad\qquad k=1,\ldots,N$$
essendo anche $g=(g_1,\ldots, g_N)$ una funzione vettoriale e le $(A_j)_k$ la riga $k$-ima della matrice $A_j$.
$$u:\mathbb{R}\times \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^N$$
avendosi $u=(u_1,\ldots,u_N)$ e $u_j=u_j(t,x),\ \forall\ j=1,\ldots,N$.
Ovviamente $x\in \mathbb{R}^n$, mentre per definizione
$$S^{n-1}=\{x\in \mathbb{R}^n\ |\ ||x||=1\}\subset \mathbb{R}^n$$
è la sfera di centro l'origine e raggio 1 (sfera inteso come bordo della palla).
Le $A_j(t,x,u)$ sono matrici di funzioni tutte dipendenti dalle variabili indicate, mentre le $\partial_j u=\frac{\partial u}{\partial x_j},\ j=1,\ldots,n$. Se tu volessi scrivere le singole equazioni di tale sistema, avresti
$$(u_k)_t+\sum_{j=1}^n (A_j)_k(t,x,u)\cdot \partial_j u_k=g_k(t,x,u),\qquad\qquad k=1,\ldots,N$$
essendo anche $g=(g_1,\ldots, g_N)$ una funzione vettoriale e le $(A_j)_k$ la riga $k$-ima della matrice $A_j$.
Ciao Ciampax, grazie davvero della risposta, sei stato chiarissimo.
Sai però cosa non mi convince tanto?
Il fatto che le $A_j$ siano vettori riga.
E' vero che considerandoli vettori riga fila tutto però successivamente quando dà la definizione di sistema strettamente iperbolico simmetrico dice che deve essere
$A_j=A_j^{\star}$ $\forallj=1\ldotsn$
dove con $A_j^{\star}$ si intende (credo) la matrice trasposta, per questo secondo me le $A_j$ dovrebbero essere matrici.
Sai però cosa non mi convince tanto?
Il fatto che le $A_j$ siano vettori riga.
E' vero che considerandoli vettori riga fila tutto però successivamente quando dà la definizione di sistema strettamente iperbolico simmetrico dice che deve essere
$A_j=A_j^{\star}$ $\forallj=1\ldotsn$
dove con $A_j^{\star}$ si intende (credo) la matrice trasposta, per questo secondo me le $A_j$ dovrebbero essere matrici.
Ah sì, scusa, pensavo alla sommatoria come un prodotto scalare e mi ero scordato che l'equazione che hai scritto è in realtà una forma compatta per un sistema. Sì, le $A_j$ sono matrici. E ovviamente la condizione sulle matrici implica la simmetria. Ho anche modificato sopra.
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