Definizione di serie
Ciao e buona domenica 
Sto studiando la definizione di serie in vista dell'orale...ho una confusione in testa...e soprattutto ansia visto che l'ultima volta sono stato bocciato proprio in merito a questa domanda
vorrei esprimere la mia definizione di serie e di somma in maniera tale che possiate correggere i miei errori...non postate link esterni ad altre definizioni che non hanno fatto altro che confondermi le idee 
Ecco come mi comporterei all'orale (piu giu esprimo eventuali dubbi XD):
"Data una successione ${a_n}$, definisco la la somma come la $\sum_{n = 1}^(\infty) a_n = a_1 + a_2 + ... + a_k$. Per dare significato a quanto scritto sopra (che infatti non ha significato in quanto indica la somma di infiniti addendi) creo a partire dalla successione $a_n$ una nuova successione $s_k$ con il nome di successione delle somme parziali.
Ora la parte che il mio prof ha definito non corretta..
La successione delle somme parziali é cosi definita:
$s_1 = a_1$
$s_2 = a_1 + a_2$
$s_3 = a_1 + a_2 + a_3$
....
$s_k = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_k$
Dopo che avevo scritto ciò, il mio prof mi ha chiesto cosa fossero esattamente queste somme parziali...e io sono andato in confusione...mi aiutate a capire in base a quanto scritto sopra?
Continuo la mia spiegazione e affermo che la serie é il $lim_(k->+\infty) s_k = \sum_{n=1}^(\infty)an$
ora vi pongo una domanda...questa ultima definizione é quella di serie...ma va bene anche come definzione di SOMMA DI una serie? Se ci sono differenze mi potreste gentilmente spiegare?
Grazie mille per le eventuali spiegazioni e il disturbo
Sto studiando la definizione di serie in vista dell'orale...ho una confusione in testa...e soprattutto ansia visto che l'ultima volta sono stato bocciato proprio in merito a questa domanda
vorrei esprimere la mia definizione di serie e di somma in maniera tale che possiate correggere i miei errori...non postate link esterni ad altre definizioni che non hanno fatto altro che confondermi le idee Ecco come mi comporterei all'orale (piu giu esprimo eventuali dubbi XD):
"Data una successione ${a_n}$, definisco la la somma come la $\sum_{n = 1}^(\infty) a_n = a_1 + a_2 + ... + a_k$. Per dare significato a quanto scritto sopra (che infatti non ha significato in quanto indica la somma di infiniti addendi) creo a partire dalla successione $a_n$ una nuova successione $s_k$ con il nome di successione delle somme parziali.
Ora la parte che il mio prof ha definito non corretta..
La successione delle somme parziali é cosi definita:
$s_1 = a_1$
$s_2 = a_1 + a_2$
$s_3 = a_1 + a_2 + a_3$
....
$s_k = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_k$
Dopo che avevo scritto ciò, il mio prof mi ha chiesto cosa fossero esattamente queste somme parziali...e io sono andato in confusione...mi aiutate a capire in base a quanto scritto sopra?
Continuo la mia spiegazione e affermo che la serie é il $lim_(k->+\infty) s_k = \sum_{n=1}^(\infty)an$
ora vi pongo una domanda...questa ultima definizione é quella di serie...ma va bene anche come definzione di SOMMA DI una serie? Se ci sono differenze mi potreste gentilmente spiegare?
Grazie mille per le eventuali spiegazioni e il disturbo
Risposte
Ciao.
C'è qualche incongruenza:
1) l'espressione
$ \sum_{n = 1}^(\infty) a_n = a_1 + a_2 + ... + a_k $
non è coerente, perchè al membro destro la sommatoria è stata impostata solo sui primi $k$ termini della successione e tale sommatoria non coincide con la serie; semmai varrebbe
$ \sum_{n = 1}^(k) a_n = a_1 + a_2 + ... + a_k $
o, al limite
$ \sum_{n = 1}^(\infty) a_n = a_1 + a_2 + ... + a_k + ...... $
2) l'espressione
$ s_4 = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_k $
è anch'essa incoerente (se $k!=4$); vale, infatti
$ s_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 $
Comunque, avendo la successione delle somme parziali data da
$ s_k = a_1 + a_2 + ... + a_k $ (sommatoria dei primi $k$ termini della successione $a_n$)
la serie è definita dal limite di quest'ultima successione.
Non so se io ti abbia chiarito le idee.
Saluti.
C'è qualche incongruenza:
1) l'espressione
$ \sum_{n = 1}^(\infty) a_n = a_1 + a_2 + ... + a_k $
non è coerente, perchè al membro destro la sommatoria è stata impostata solo sui primi $k$ termini della successione e tale sommatoria non coincide con la serie; semmai varrebbe
$ \sum_{n = 1}^(k) a_n = a_1 + a_2 + ... + a_k $
o, al limite
$ \sum_{n = 1}^(\infty) a_n = a_1 + a_2 + ... + a_k + ...... $
2) l'espressione
$ s_4 = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_k $
è anch'essa incoerente (se $k!=4$); vale, infatti
$ s_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 $
Comunque, avendo la successione delle somme parziali data da
$ s_k = a_1 + a_2 + ... + a_k $ (sommatoria dei primi $k$ termini della successione $a_n$)
la serie è definita dal limite di quest'ultima successione.
Non so se io ti abbia chiarito le idee.
Saluti.
Provo anch'io a dire la mia sulla questione.
Data una successione $ a{n} sub RR $ si può costruire una nuova successione $ s{n} $ sommando via via i termini della successione $ {a_n} $ cioè ponendo $ { ( s_0=a_0 ),( s_(n+1)=s_n+a_(n+1) ):} $ ovvero $ s_n=a_1+a_2+...+a_n=sum_(j=0)^n a_j $
La successione $ {s_n} $ si chiama serie della successione $ {a_n} $ e si usa indicarla con il simbolo $ sum_(j=0)^infty a_j $
In altre parole la frase "si consideri la serie $ sum_(j=0)^infty a_j $ " sta a dire " si consideri la successione $ {sum_(j=0)^n a_j} $ delle somme parziali della successione $ {a_n} $ "
Poi abbiamo che, come ogni successione possiamo calcolarne il limite e chiamiamo somma della serie il limite, se esiste, delle somme parziali della serie. Sfortunatamente la notazione in questo caso non ci viene in aiuto poichè nel tempo si è attribuito alla somma della serie il simbolo $ sum_(j=0)^infty a_j := lim_(n->infty)sum_(j=0)^n a_j $.
Data una successione $ a{n} sub RR $ si può costruire una nuova successione $ s{n} $ sommando via via i termini della successione $ {a_n} $ cioè ponendo $ { ( s_0=a_0 ),( s_(n+1)=s_n+a_(n+1) ):} $ ovvero $ s_n=a_1+a_2+...+a_n=sum_(j=0)^n a_j $
La successione $ {s_n} $ si chiama serie della successione $ {a_n} $ e si usa indicarla con il simbolo $ sum_(j=0)^infty a_j $
In altre parole la frase "si consideri la serie $ sum_(j=0)^infty a_j $ " sta a dire " si consideri la successione $ {sum_(j=0)^n a_j} $ delle somme parziali della successione $ {a_n} $ "
Poi abbiamo che, come ogni successione possiamo calcolarne il limite e chiamiamo somma della serie il limite, se esiste, delle somme parziali della serie. Sfortunatamente la notazione in questo caso non ci viene in aiuto poichè nel tempo si è attribuito alla somma della serie il simbolo $ sum_(j=0)^infty a_j := lim_(n->infty)sum_(j=0)^n a_j $.
Quindi alessamdro, definire la Somma parziale come:
$s_1 = a_1$
$s_2 = a_1 + a_2$
$s_3 = a_1 + a_2 + a_3$
$s_k = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_k$
È corretto?
Intanto ti ringrazio per quanto scritto sopra che mi ha chiarito un po' di dubbi
$s_1 = a_1$
$s_2 = a_1 + a_2$
$s_3 = a_1 + a_2 + a_3$
$s_k = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_k$
È corretto?
Intanto ti ringrazio per quanto scritto sopra che mi ha chiarito un po' di dubbi
La definizione di $s_k$ che hai dato è corretta.
La serie non è altro che il limite di quest'ultima successione.
Naturalmente il fatto che, poi, tale limite esista, o meno, è un'altra questione.
Saluti.
La serie non è altro che il limite di quest'ultima successione.
Naturalmente il fatto che, poi, tale limite esista, o meno, è un'altra questione.
Saluti.
perfetto! Ti ringrazio tantissimo!! 
Di nulla.
Saluti.
Saluti.
Io sapevo che la serie è la successione delle somme parziali, il limite a cui tende questa successione (la serie) è detto somma della serie. C'è una bella differenza tra le due.
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