Definizione di operazione inversa
Salve,
La sottrazione sappiamo che è definita così:
a-b=c se e solo se c+b=a .
Analogamente la divisione è così definita:
a:b=c se e solo se c*b=a .
Partendo da queste vorrei sapere come si dimostrano queste scritture:
a-b=a+(-b) . E a:b=a*(1:b) .
Oppure è solo una questione di definizione?
La sottrazione sappiamo che è definita così:
a-b=c se e solo se c+b=a .
Analogamente la divisione è così definita:
a:b=c se e solo se c*b=a .
Partendo da queste vorrei sapere come si dimostrano queste scritture:
a-b=a+(-b) . E a:b=a*(1:b) .
Oppure è solo una questione di definizione?
Risposte
Se con (-b) intendi l'opposto di b allora $a-b = a+(-b)$ sse $(a + (-b)) + b = a$ (dalla tua definizione) che è vera se vale l'associatività.
Non è questo che intendevo.
Vorrei capire come dalla prima scrittura si passi alla seconda, e non come dalla seconda si arrivi alla prima.
Vorrei capire come dalla prima scrittura si passi alla seconda, e non come dalla seconda si arrivi alla prima.
Provo a riformulare la domanda.
Se sottrazione e divisione sono definite come:
$a-b=c$ se e solo se $b+c=a$;
$a:b=c$ se e solo se $c*b=a$.
Vorrei capire come si arriva alle scritture:
$a-b=a+(-b)$;
$a:b=a*(1/b)$.
Se sottrazione e divisione sono definite come:
$a-b=c$ se e solo se $b+c=a$;
$a:b=c$ se e solo se $c*b=a$.
Vorrei capire come si arriva alle scritture:
$a-b=a+(-b)$;
$a:b=a*(1/b)$.
Up
In quale insieme numerico stai operando? $NN$? $ZZ$? $QQ$? $RR$? $CC$?
Nei vari insiemi numerici le operazioni sono definite in modi diversi (che però si accordano bene), quindi se non specifichi dove sei è difficile risponderti.
Nei vari insiemi numerici le operazioni sono definite in modi diversi (che però si accordano bene), quindi se non specifichi dove sei è difficile risponderti.
"gugo82":
In quale insieme numerico stai operando? $NN$? $ZZ$? $QQ$? $RR$? $CC$?
Nei vari insiemi numerici le operazioni sono definite in modi diversi (che però si accordano bene), quindi se non specifichi dove sei è difficile risponderti.
L'insieme è $R$, anche se poi in parte queste scritture si possono estendere agli altri insiemi numerici.
Up.
Nessuno?
Nessuno?
Derivano dalla definizione di "opposto" e "reciproco" (nei vari ambiti nei quali stai lavorando)
"AnalisiZero":
Salve,
La sottrazione sappiamo che è definita così:
a-b=c se e solo se c+b=a .
Analogamente la divisione è così definita:
a:b=c se e solo se c*b=a .
Partendo da queste vorrei sapere come si dimostrano queste scritture:
a-b=a+(-b) . E a:b=a*(1:b) .
Oppure è solo una questione di definizione?
Se chiami $-b$ quel numero reale tale che $b+(-b)=0$ (e non puoi fare a meno di questa definizione, come ti facevano notare sopra), allora è vero che
\[a-b=a+(-b)\]
Infatti, in base alla tua definizione, dire che l'uguaglianza precedente è vera equivale a dire che è vera l'uguaglianza
\[(a+(-b))+b=a\]
e, in effetti, quest'ultima è vera in base alla definizione di $-b$, dato che si ha
\[(a+(-b))+b=a+(-b)+b\stackrel{\text{def di }-b}{=}a+0=a\]
In realtà ti basta definire cos'è l'opposto, mentre definire la sottrazione è inutile. Semplicemente, una volta definito cos'è l'opposto di un numero reale, convieni di indicare con $a-b$ il risultato dell'operazione $a+(-b)$.
Credo di aver capito:
$b:b=1$ perché $1$ è l'unico numero che moltiplicato per $b$ restituisce $b$.
Ma per la definizione di reciproco:
$b*1/b=1$ allora posso dire $b:b=b*1/b$
Analogamente $b-b=0$ perché $0$ è l'unico numero che sommato a $b$ dà $b$.
Ma per la definizione di opposto: $b+(-b)=0$ allora posso dire $b-b=b+(-b)$
Giusto?
$b:b=1$ perché $1$ è l'unico numero che moltiplicato per $b$ restituisce $b$.
Ma per la definizione di reciproco:
$b*1/b=1$ allora posso dire $b:b=b*1/b$
Analogamente $b-b=0$ perché $0$ è l'unico numero che sommato a $b$ dà $b$.
Ma per la definizione di opposto: $b+(-b)=0$ allora posso dire $b-b=b+(-b)$
Giusto?
Direi che hai invertito causa ed effetto ma va bene lo stesso ... 
(Hint: se devi ancora definire la divisione non puoi usarla in una dimostrazione, non ti pare?
)
Cordialmente, Alex
(Hint: se devi ancora definire la divisione non puoi usarla in una dimostrazione, non ti pare?
)Cordialmente, Alex
In effetti quello che ho scritto non ha senso perché non è generalizato.
In realtà, quando si opera in $RR$ (così come in $QQ$ ed in $ZZ$), la sottrazione è definita come somma del minuendo con l'opposto del sottraendo, i.e. si pone per definizione:
\[
a-b:=a+(-b)
\]
in cui $-b$ è l'unico numero reale tale che $b+(-b)=0$ (che si chiama opposto di $b$).
Questa definizione, invece, non funziona in $NN$... Perché i numeri di $NN$ non hanno (in $NN$) alcun opposto!
Come si definisce la sottrazione in $NN$, allora?
Beh, si dimostra che, assegnati due numeri naturali $n,m\in NN$ è possibile una ed una soltanto delle seguenti alternative:
[list=1][*:j7x1dlcf] esiste un unico numero $d\in NN - \{ 0\}$ tale che $n+d=m$;
[/*:m:j7x1dlcf]
[*:j7x1dlcf] risulta $n=m$;
[/*:m:j7x1dlcf]
[*:j7x1dlcf] esiste un unico numero $d \in NN-\{ 0\}$ tale che $m+d=n$;[/*:m:j7x1dlcf][/list:o:j7x1dlcf]
questo fatto, noto come Principio di Tricotomia, ti consente di fare due cose:
[list=a][*:j7x1dlcf] definire in $NN$ una relazione d'ordine compatibile con le operazioni, semplicemente ponendo:
\[
n\leq m\quad \Leftrightarrow\quad \text{vale la 1 o la 2, cioè } \exists d \in \mathbb{N}:\ n+d=m\; ;
\]
[/*:m:j7x1dlcf]
[*:j7x1dlcf] definire la differenza tra due numeri naturali $m$ (minuendo) ed $n$ (sottraendo) a patto che risulti $n\leq m$, semplicemente ponendo:
\[
m-n:=d\; ,
\]
in cui $d$ è il numero di cui è predicata l'esistenza al punto a.[/*:m:j7x1dlcf][/list:o:j7x1dlcf]
Definita in questo modo la sottrazione, per la stessa definizione è evidente che $m-n$ è l'unico numero che sommato ad $n$ (sottraendo) restituisce $m$ (minuendo), cioè vale la relazione:
\[
n+(m-n)=m\; .
\]
La cosa divertente è che, se consideri (come sovente si fa, ma con abuso di notazione) $NN\subseteq$ ($ZZ\subseteq QQ \subseteq$) $\RR$, allora le due operazioni di differenza "coincidono"... In altre parole, il numero $m+(-n)$ è l'unico numero che sommato ad $n$ (sottraendo) restituisce $m$ (minuendo). La dimostrazione di questo fatto te l'ha data chi mi ha preceduto.
\[
a-b:=a+(-b)
\]
in cui $-b$ è l'unico numero reale tale che $b+(-b)=0$ (che si chiama opposto di $b$).
Questa definizione, invece, non funziona in $NN$... Perché i numeri di $NN$ non hanno (in $NN$) alcun opposto!
Come si definisce la sottrazione in $NN$, allora?
Beh, si dimostra che, assegnati due numeri naturali $n,m\in NN$ è possibile una ed una soltanto delle seguenti alternative:
[list=1][*:j7x1dlcf] esiste un unico numero $d\in NN - \{ 0\}$ tale che $n+d=m$;
[/*:m:j7x1dlcf]
[*:j7x1dlcf] risulta $n=m$;
[/*:m:j7x1dlcf]
[*:j7x1dlcf] esiste un unico numero $d \in NN-\{ 0\}$ tale che $m+d=n$;[/*:m:j7x1dlcf][/list:o:j7x1dlcf]
questo fatto, noto come Principio di Tricotomia, ti consente di fare due cose:
[list=a][*:j7x1dlcf] definire in $NN$ una relazione d'ordine compatibile con le operazioni, semplicemente ponendo:
\[
n\leq m\quad \Leftrightarrow\quad \text{vale la 1 o la 2, cioè } \exists d \in \mathbb{N}:\ n+d=m\; ;
\]
[/*:m:j7x1dlcf]
[*:j7x1dlcf] definire la differenza tra due numeri naturali $m$ (minuendo) ed $n$ (sottraendo) a patto che risulti $n\leq m$, semplicemente ponendo:
\[
m-n:=d\; ,
\]
in cui $d$ è il numero di cui è predicata l'esistenza al punto a.[/*:m:j7x1dlcf][/list:o:j7x1dlcf]
Definita in questo modo la sottrazione, per la stessa definizione è evidente che $m-n$ è l'unico numero che sommato ad $n$ (sottraendo) restituisce $m$ (minuendo), cioè vale la relazione:
\[
n+(m-n)=m\; .
\]
La cosa divertente è che, se consideri (come sovente si fa, ma con abuso di notazione) $NN\subseteq$ ($ZZ\subseteq QQ \subseteq$) $\RR$, allora le due operazioni di differenza "coincidono"... In altre parole, il numero $m+(-n)$ è l'unico numero che sommato ad $n$ (sottraendo) restituisce $m$ (minuendo). La dimostrazione di questo fatto te l'ha data chi mi ha preceduto.
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