Definizione di O-grande.

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Più che una domanda di comprensione, è una domanda "storica", la definizione che mi hanno dato in corso di O-grande è la seguente
Una funzione \( f(x) \) è un \( O\)-grande di \( g(x) \) per \( x \to x_0 \) se esiste una costante \( C \) e un intorno \(U_{x_0} \) tale che \( \begin{vmatrix} f(x) \end{vmatrix} \leq C \begin{vmatrix} g(x) \end{vmatrix} \), \( \forall x \in U_{x_0} \).

Ma leggo spesso (in internet a dire il vero) che ogni tanto si usa un'altra definizione ovvero quella tramite limite,
Una funzione \( f(x) \) è un \( O\)-grande di \( g(x) \) per \( x \to x_0 \) se e solo se \( \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} \in \mathbb{R} \)

Sono due definizioni non equivalenti, basta prende \( f(x) = x \cos(x) \) e \( x \to \infty \) con la prima definizione è un \(O(x) \) mentre con la seconda no.

Mi chiedevo come mai ci fossero due definizioni non equivalenti, se ha un motivo storico o altro. Grazie

[dissonance]

La seconda non è corretta. È troppo restrittiva. In molti casi il limite non esiste ma è comunque necessario fare una stima asintotica.

Lascia stare le cose che leggi su internet, circola moltissima robaccia, purtroppo.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Okay, infatti leggendo il thread sui simboli di Landau di gugo stavo leggendo che se nell'intorno \( g(x) \) è definitivamente non nulla nell'intorno considerato allora può essere utilizzato come criterio, come condizione necessaria ma non sufficiente, ma solo in quel caso.

[dissonance]

Facciamo un esempio per dimostrare che la seconda definizione è inadatta. Se \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\) è una funzione derivabile, allora vale la formula di Taylor
\[\tag{1}
f(x)=f(0)+f'(0)x+O(x^2), \]
dove \(g(x)=O(x^2)\) significa che esiste \(C>0\) tale che
\[\tag{2}\lvert g(x)\rvert \le Cx^2 \qquad \text{in un intorno di } 0.\]
La (1) non vale più se intendiamo \(g(x)=O(x^2)\) come \[\tag{3}\lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x^2}\quad \text{esiste finito}.\]
Consideriamo infatti
\[
f(x)=x\lvert x \rvert. \]
La (1) diviene \( x\lvert x\rvert=O(x^2)\), che è ovviamente vera nel senso (2) ma non è vera nel senso (3); infatti
\[
\lim_{x\to 0} \frac{x\lvert x \rvert}{x^2}\qquad \text{ non esiste}.\]
Morale: MAI studiare da risorse internet non attendibili.

[otta96]

"dissonance":Se \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\) è una funzione derivabile, allora vale la formula di Taylor
\[\tag{1}
f(x)=f(0)+f'(0)x+O(x^2), \]
dove \(g(x)=O(x^2)\) significa che esiste \(C>0\) tale che
\[\tag{2}\lvert g(x)\rvert \le Cx^2 \qquad \text{in un intorno di } 0.\]

Mhhh… Non proprio.
Se consideri $f(x)=x/lnx$ ($f(0)=0$) (anche se te hai messo $RR$ come dominio l'importante è che sia definita su un intorno di $0$) hai che $f'(0)=0$, ma $f(x)$ non è un $O(x^2)$.
Quella cosa è vera se la funzione è derivabile 2 volte.
Comunque riguardo alla definizione di $O$ grande le possibili scelte sono due: o la definisci nel primo modo oppure la seconda scelta non è quella che hai detto perché è troppo restrittiva come diceva dissonance, quello che si può fare è dire che $f$ è un $O$ grande di $g$ se esistono $0

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[dissonance]

"otta96":
Se consideri $f(x)=x/lnx$ ($f(0)=0$) [...] hai che $f'(0)=0$, ma $f(x)$ non è un $O(x^2)$.
Quella cosa è vera se la funzione è derivabile 2 volte.

Hai ragione, ho scelto male l'esempio. Quello che voglio dire è che la definizione di O grande in termini di limiti è "strana", perché la formula seguente NON vale:
\[\tag{!}
\lvert f(x)\rvert =O(f(x)).\]
Ad esempio, \(\lvert x\rvert \) NON sarebbe un \(O(x)\), con la definizione di O grande come limite. Questo è strano ed è meglio evitarlo.

Comunque riguardo alla definizione di $O$ grande le possibili scelte sono due: o la definisci nel primo modo oppure la seconda scelta non è quella che hai detto perché è troppo restrittiva come diceva dissonance, quello che si può fare è dire che $f$ è un $O$ grande di $g$ se esistono $0
Però se usi questa definizione lo devi dire esplicitamente, perché non è standard. Non c'è problema, naturalmente, ma è per non fare confusione.

[otta96]

"dissonance":Ad esempio, \(\lvert x\rvert \) NON sarebbe un \(O(x)\), con la definizione di O grande come limite.

Vabbè però per lo meno il valore assoluto ce lo devi mettere, lui non lo ha messo e infatti questa è la cosa che mi è sembrata più strana.

Però se usi questa definizione lo devi dire esplicitamente, perché non è standard. Non c'è problema, naturalmente, ma è per non fare confusione.

Ah, pensavo fosse la definizione standard, buono a sapersi.