Definizione di norma e prodotto scalare di funzioni
Ciao, amici!
Sto studiando un'introduzione alle serie di Fourier e ho trovato le definizioni di prodotto scalare tra funzioni, definito per due funzioni f(x) e g(x) continue in [a,b] come $‹f,g›=\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx$ e di norma, definita, analogamente al caso di un vettore "ordinario" per cui è $||\vec u||=sqrt(‹\vec u,\vec u›)$, come $||f||=(\int_{a}^{b} f^2(x) dx)^(1/2)$.
Nel caso di vettori "ordinari" il prodotto scalare è un'operazione di prodotto e somma tra componenti dei vettori e la norma è la "lunghezza" del vettore, la radice quadrata della somma dei cubi delle componenti... c'è un parallelismo tra queste operazioni tra componenti e la definizione di prodotto interno e norma quando si tratta di funzioni?
Grazie di cuore a chiunque vorrà chiarirmi questo dubbio!!!
Ciao a tutti!
Davide
Sto studiando un'introduzione alle serie di Fourier e ho trovato le definizioni di prodotto scalare tra funzioni, definito per due funzioni f(x) e g(x) continue in [a,b] come $‹f,g›=\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx$ e di norma, definita, analogamente al caso di un vettore "ordinario" per cui è $||\vec u||=sqrt(‹\vec u,\vec u›)$, come $||f||=(\int_{a}^{b} f^2(x) dx)^(1/2)$.
Nel caso di vettori "ordinari" il prodotto scalare è un'operazione di prodotto e somma tra componenti dei vettori e la norma è la "lunghezza" del vettore, la radice quadrata della somma dei cubi delle componenti... c'è un parallelismo tra queste operazioni tra componenti e la definizione di prodotto interno e norma quando si tratta di funzioni?
Grazie di cuore a chiunque vorrà chiarirmi questo dubbio!!!
Ciao a tutti!
Davide
Risposte
Ciao. 
Be', diciamo che quanto dici è vero fino ad un certo punto... tu stai parlando di un prodotto scalare tra vettori (quello più comune che di solito si chiama prodotto scalare standard).
Dato uno spazio vettoriale reale o complesso ogni forma bilineare simmetrica (definita positiva) è un prodotto scalare. Quindi quello standard non è l'unico prodotto scalare che puoi definire in uno spazio vettoriale. Nel tuo caso, tu poni $ =int_a^bf(x)g(x)dx$. Non vedo altri problemi, una volta che hai verificato (l'hai fatto?) che la posizione definisce effettivamente un prodotto scalare.
Più chiaro adesso?
"DavideGenova":
Nel caso di vettori "ordinari" il prodotto scalare è un'operazione di prodotto e somma tra componenti dei vettori e la norma è la "lunghezza" del vettore, la radice quadrata della somma dei cubi delle componenti... c'è un parallelismo tra queste operazioni tra componenti e la definizione di prodotto interno e norma quando si tratta di funzioni?
Be', diciamo che quanto dici è vero fino ad un certo punto... tu stai parlando di un prodotto scalare tra vettori (quello più comune che di solito si chiama prodotto scalare standard).
Dato uno spazio vettoriale reale o complesso ogni forma bilineare simmetrica (definita positiva) è un prodotto scalare. Quindi quello standard non è l'unico prodotto scalare che puoi definire in uno spazio vettoriale. Nel tuo caso, tu poni $
Più chiaro adesso?
Comunque l'analogia tra
[tex]$\bold{x}\cdot \bold{y}=\sum_{j=1}^n x_jy_j[/tex] e
[tex]$\langle f, g \rangle= \int_a^b f(t) g(t) \, dt[/tex]
c'è eccome. Basta sostituire la somma con un integrale! Infatti il primo prodotto scalare è un caso particolare del secondo, oppure, se preferite, il secondo è una generalizzazione del primo. Questo si vede subito se si osserva che un vettore [tex]\bold{x}=(x_1 \ldots x_n)[/tex] è pure lui una funzione: si tratta della funzione che associa
[tex]$\begin{itemize} 1 \mapsto x_1 \\ 2 \mapsto x_2 \\ \vdots \\ n \mapsto x_n \end{itemize}[/tex]
ovvero di una funzione [tex]\{1, 2 \ldots n\} \to \mathbb{R}[/tex], laddove [tex]f, g[/tex] sono funzioni [tex][a, b] \to \mathbb{R}[/tex]. Osserviamo che per funzioni così fatte abbiamo già, in modo perfettamente naturale, una nozione di integrale: basta convenire di chiamare
[tex]$\int_{\{1, 2 \ldots n\}} x_j\, dj= \sum_{j=1}^n x_j[/tex]
mi pare che possa andare bene, no? Con questa definizione, anche il primo prodotto scalare ha la stessa forma del secondo:
[tex]$\bold{x}\cdot \bold{y}=\int_{\{1, 2 \ldots n\}} x_j y_j\, dj[/tex]
[tex]$\bold{x}\cdot \bold{y}=\sum_{j=1}^n x_jy_j[/tex] e
[tex]$\langle f, g \rangle= \int_a^b f(t) g(t) \, dt[/tex]
c'è eccome. Basta sostituire la somma con un integrale! Infatti il primo prodotto scalare è un caso particolare del secondo, oppure, se preferite, il secondo è una generalizzazione del primo. Questo si vede subito se si osserva che un vettore [tex]\bold{x}=(x_1 \ldots x_n)[/tex] è pure lui una funzione: si tratta della funzione che associa
[tex]$\begin{itemize} 1 \mapsto x_1 \\ 2 \mapsto x_2 \\ \vdots \\ n \mapsto x_n \end{itemize}[/tex]
ovvero di una funzione [tex]\{1, 2 \ldots n\} \to \mathbb{R}[/tex], laddove [tex]f, g[/tex] sono funzioni [tex][a, b] \to \mathbb{R}[/tex]. Osserviamo che per funzioni così fatte abbiamo già, in modo perfettamente naturale, una nozione di integrale: basta convenire di chiamare
[tex]$\int_{\{1, 2 \ldots n\}} x_j\, dj= \sum_{j=1}^n x_j[/tex]
mi pare che possa andare bene, no? Con questa definizione, anche il primo prodotto scalare ha la stessa forma del secondo:
[tex]$\bold{x}\cdot \bold{y}=\int_{\{1, 2 \ldots n\}} x_j y_j\, dj[/tex]
Bella storia, dissonance, io non avevo notato. Grande, come al solito.
Grazie infinite a tutti!!!!! Scusa un momentino, Paolo, se non ti disturbo troppo, in
che cosa significa "posizione"?
Ciao e grazie di nuovo!!!
Davide
"Paolo90":
la posizione definisce effettivamente un prodotto scalare.
che cosa significa "posizione"?
Ciao e grazie di nuovo!!!
Davide
Giovin Paolo90, non esageriamo con le lodi a dissonance, immeritate!
@DavideGenova
"posizione", da "porre" (esempio: "poniamo che" dissonance sia bravo, allora ne deriva...)
insomma, si lavora col pongo
saluti da Albaro
@DavideGenova
"posizione", da "porre" (esempio: "poniamo che" dissonance sia bravo, allora ne deriva...)
insomma, si lavora col pongo
saluti da Albaro
Ehilà, Fioravante! Sono contento di vedere che sei sempre il solito cattivone. Sai, si diceva in giro che ti fossi rammollito. 
Grazie di cuore a tutti per tutte le delucidazioni!!!
Saluti da Pontedecimo!!!
P.S. off topic: decisamente attuale l'avatar, Fioravante, con i tempi (grami) che corrono...
Saluti da Pontedecimo!!!
P.S. off topic: decisamente attuale l'avatar, Fioravante, con i tempi (grami) che corrono...
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