Definizione di L^p

[ti2012]

Buonasera. Scusatemi, nel definire $L^p$ è corretto dire che esso è l'insieme delle funzioni f misurabili per cui $f^p$ è sommabile o è corretto dire che è l'insieme delle funzioni f misurabili per cui $|f|^p$ è sommabile?
Grazie mille.
Saluti

[ciampax]

La seconda, visto che la norma di $L^p(\Omega,\mu)$ è definita come
$$\|f\|_p=\left(\int_\Omega |f|^p\ d\mu\right)^{1/p}$$

[ti2012]

Chiedo scusa, ma allora se è così, perchè per quanto riguarda $L^1$ diciamo che è l'insieme delle funzioni f sommabili (e NON consideriamo |f| per dire che è sommabile) ?
Grazie millllle

[ciampax]

Ehm.... chi ti ha detto di non considerare $|f|$????

[gugo82]

Fissiamo un po' di terminologia.

[*:3o5gwaej] Integrabile significa "avente integrale ben definito (finito o no, non importa)"; nel caso di misure positive, ciò significa che almeno una delle due funzioni misurabili positive \(f^\pm\) (parte non negativa e parte non positiva di $f$) ha integrale finito.[nota]Ricorda che l'integrale per funzioni non negative/non positive è definito come limite di integrali di funzioni semplici.[/nota]

[/*:m:3o5gwaej]
[*:3o5gwaej] Sommabile significa "avente valore assoluto integrabile"; nel caso di misure positive ciò equivale a dire che entrambe le funzioni \(f^\pm\) hanno integrale finito.[/*:m:3o5gwaej][/list:u:3o5gwaej]

Detto ciò, non ha senso dire che "in $L^p$ ci sono le (classi di equivalenza di) funzioni misurabili con potenza $p$-esima sommabile" per un semplice fatto: la potenza $p$-esima potrebbe non essere nemmeno definita, figurati sommabile!
Per chiarire, prendendo $p=\sqrt(2) >1$ ed $f(x):=-1$ in $Omega:=(-1,1)$, è chiaro che $f in L^p(Omega)$ e però la funzione $f^p$ col cavolo che è ben definita in $Omega$!

[ti2012]

"ciampax":Ehm.... chi ti ha detto di non considerare $|f|$????

Sul materiale di studio :/

[ti2012]

Grazie mille ad entrambi . Sono desolata però ancora non mi è chiaro il motivo per cui quando consideriamo la definizione di $L^p$ dobbiamo considerare necessariamente $|f|^p$ (misurabile) .
Ancora grazie tantisssssimo per la disponibilità

[dissonance]

"gugo82": prendendo $p=\sqrt(2) >1$ ed $f(x):=-1$ in $Omega:=(-1,1)$, è chiaro che $f in L^p(Omega)$ e però la funzione $f^p$ col cavolo che è ben definita in $Omega$!

Mi pare che ti abbiano già risposto. Cosa non ti è chiaro di questa frase? Leggi con attenzione.

[ti2012]

Purtroppo non mi è chiaro il concetto che sta alla base dell' "esempio"

[ciampax]

"ti2012":Purtroppo non mi è chiaro il concetto che sta alla base dell' "esempio"

Sai come si definisce la potenza con esponente reale? Sapresti dire quanto fa $(-1)^{sqrt{2}}$ o $(-1)^\pi$?

[ti2012]

Intende nel campo complesso?

[ciampax]

Ti pare che qualcuno, in questo post, abbia parlato di campo complesso?????