Definizione di limite con prodotto scalare
Ciao! In una dimostrazione, viene usata la definizione di limite, ma
non sono riuscita a capire qual è l' $ epsilon $ considerato.
I miei dati sono questi
(con le parentesi angolate indico il prodotto scalare, con le || la norma, in grassetto
vettori)
$ -b < -c $ , $ b,c \in RR $ , $ b,c >0 $
\( \leq -b*\textbf{|x|}^2 \)
e so che
\( \lim_{x\rightarrow 0} \frac{<\textbf{v}(\textbf{x})-A\textbf{x},\textbf{x}>}{\textbf{|x|}^2}=0 \).
Il libro a questo punto dice che, applicando la def di limite si ha che
\( \exists \delta >0 \) , tale che, se \( |\textbf{x}|<\delta \) risulta
\( \leq -c*\textbf{|x|}^2 \).
Non riesco a capire quale sia l'$ epsilon $ preso; applicando la def
di limite io arrivo a dire che
\( \frac{|<\textbf{v}(\textbf{x})-A\textbf{x},\textbf{x}>|}{\textbf{|x|}^2}< \epsilon \)
e dunque
\( \frac{<\textbf{v}(\textbf{x}),\textbf{x}>-}{\textbf{|x|}^2}< \epsilon \)
Ma poi come continuo? Io per il termine \( \) ho una
maggiorazione con \( -b*\textbf{|x|}^2 \) , qui cosa utilizzo?
Grazie
non sono riuscita a capire qual è l' $ epsilon $ considerato.
I miei dati sono questi
(con le parentesi angolate indico il prodotto scalare, con le || la norma, in grassetto
vettori)
$ -b < -c $ , $ b,c \in RR $ , $ b,c >0 $
\(
e so che
\( \lim_{x\rightarrow 0} \frac{<\textbf{v}(\textbf{x})-A\textbf{x},\textbf{x}>}{\textbf{|x|}^2}=0 \).
Il libro a questo punto dice che, applicando la def di limite si ha che
\( \exists \delta >0 \) , tale che, se \( |\textbf{x}|<\delta \) risulta
\(
Non riesco a capire quale sia l'$ epsilon $ preso; applicando la def
di limite io arrivo a dire che
\( \frac{|<\textbf{v}(\textbf{x})-A\textbf{x},\textbf{x}>|}{\textbf{|x|}^2}< \epsilon \)
e dunque
\( \frac{<\textbf{v}(\textbf{x}),\textbf{x}>-
Ma poi come continuo? Io per il termine \(
maggiorazione con \( -b*\textbf{|x|}^2 \) , qui cosa utilizzo?
Grazie
Risposte
Sia $D$ l'intersezione dei domini di tutte le funzioni coinvolte. Per l'ipotesi di limite, si ha che per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta(\epsilon)>0$ tale che per ogni $x \in D \cap ((-\delta(\epsilon),\delta(\epsilon))\setminus \{0\})$ risulta:
$$\left|\frac{\langle v(x)-Ax,x \rangle}{|x|^2}\right| \le \varepsilon$$
Quindi, come hai già correttamente osservato, ciò implica (nello stesso insieme $D \cap ((-\delta(\epsilon),\delta(\epsilon))\setminus \{0\})$):
$$\frac{\langle v(x)-Ax,x \rangle}{|x|^2} \le \varepsilon$$
Per linearità del prodotto scalare, è $\langle v(x)-Ax,x \rangle= \langle v(x),x \rangle - \langle Ax,x \rangle$. Quindi, facendo due conti, si ha:
$$\langle v(x),x \rangle \le \varepsilon|x|^2+\langle Ax,x \rangle$$
Per la disuguaglianza su $\langle Ax,x \rangle$ vera per ipotesi, si ha:
$$\varepsilon|x|^2+\langle Ax,x \rangle \le \varepsilon|x|^2-b|x|^2=(\varepsilon-b)|x|^2$$
Per ipotesi $-b<-c$, quindi $-c+b>0$. Scelto quindi $\epsilon=-c+b$, esiste $\overline{\delta}:=\delta(-b+c)$ tale che per ogni $x \in D \cap ((-\overline{\delta},\overline{\delta}) \setminus \{0\})$ si ha:
$$\langle v(x),x \rangle \le (\varepsilon-b)|x|^2=(-c+b-b)|x|^2=-c|x|^2$$
Comunque, quando scrivi la $x$ in grassetto, per ottenere la corretta scrittura \( |\textbf{x}|^2 \) devi mettere le potenze fuori dalle parentesi graffe come segue:
$$\left|\frac{\langle v(x)-Ax,x \rangle}{|x|^2}\right| \le \varepsilon$$
Quindi, come hai già correttamente osservato, ciò implica (nello stesso insieme $D \cap ((-\delta(\epsilon),\delta(\epsilon))\setminus \{0\})$):
$$\frac{\langle v(x)-Ax,x \rangle}{|x|^2} \le \varepsilon$$
Per linearità del prodotto scalare, è $\langle v(x)-Ax,x \rangle= \langle v(x),x \rangle - \langle Ax,x \rangle$. Quindi, facendo due conti, si ha:
$$\langle v(x),x \rangle \le \varepsilon|x|^2+\langle Ax,x \rangle$$
Per la disuguaglianza su $\langle Ax,x \rangle$ vera per ipotesi, si ha:
$$\varepsilon|x|^2+\langle Ax,x \rangle \le \varepsilon|x|^2-b|x|^2=(\varepsilon-b)|x|^2$$
Per ipotesi $-b<-c$, quindi $-c+b>0$. Scelto quindi $\epsilon=-c+b$, esiste $\overline{\delta}:=\delta(-b+c)$ tale che per ogni $x \in D \cap ((-\overline{\delta},\overline{\delta}) \setminus \{0\})$ si ha:
$$\langle v(x),x \rangle \le (\varepsilon-b)|x|^2=(-c+b-b)|x|^2=-c|x|^2$$
Comunque, quando scrivi la $x$ in grassetto, per ottenere la corretta scrittura \( |\textbf{x}|^2 \) devi mettere le potenze fuori dalle parentesi graffe come segue:
\( |\textbf{x}|^2 \)
@Mephlip risposta molto chiara e rigorosa. Grazie davvero!
Ps. Hai ragione, è stata una svista; adesso ho corretto la sintassi nel codice
Ps. Hai ragione, è stata una svista; adesso ho corretto la sintassi nel codice
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