Definizione di Limite completa

[visind]

Salve ragazzi, a breve dovrò sostenere un possibile esame orale di Analisi, e volevo chiedervi nel caso la carissima professoressa mi chiedesse la "definizione di limite" io potrei rispondere in tal modo?

$\lim_{n \to \infty}A_n = l$

Ovvero, una successione $A_n$, converge a $l in RR$ se $AA\epsilon>-0 EE N=N(epsilon) : AAn>-N$ si ha $|A_n - l| -< \epsilon$

Potrebbe andare bene?

[gugo82]

E direi di sì...

Si dice che $(A_n)$ ha limite $l \in RR$ e si scrive $lim_n A_n =l$ se e solo se è verificata quella condizione $epsilon - N$ che citi; quindi tutto a posto.

Ovviamente questa definizione ha senso solo se il limite $l$ è un numero reale; per i casi $l=pm oo$ ci sono definizioni un po' diverse, ma la sostanza è la stessa (sempre condizioni tipo $epsilon - N$ sono...).


P.S.: Mi incuriosice l'uso dell'aggettivo completa... Come mai? Per caso conosci qualche definizione "incompleta"?

[visind]

Incompleta = errata
Comunque è strano perchè sugli appunti dettati dalla nostra professoressa leggo scritto:

Un numero reale $a$ è il limite della successione $An$ ( si dice che $An$ tende o CONVERGE ad $a$) e si scrive

$\lim_{n \to \infty}A_n = a$

se, qualunque sia $\epsilon>-0$, esiste un $r$ tale che $l-\epsilon--r$

Quel "converge" non è corretto?

[gugo82]

"visind":Un numero reale $a$ è il limite della successione $An$ (si dice che $An$ tende o CONVERGE ad $a$) [...] se, qualunque sia $\epsilon>-0$, esiste un $r$ tale che $l-\epsilon--r$

Ovviamente qui c'è un errore/refuso: il limite o lo chiami $a$ o lo chiami $l$...

Ad ogni modo, mutatis mutandis, la tua definizione e quella degli appunti sono la stessa cosa; basta cambiare $N$ con $r$, $l$ con $a$ e spezzare il valore assoluto (ossia scrivere $l-epsilon

"visind":Quel "converge" non è corretto?

"Converge" è corretto.

[visind]

Bene, la definizione ce l'abbiamo!
Ma adesso vi svelo che ho difficoltà a comprenderla

Dunque questa è la definizione

$\lim_{n \to \infty}A_n = l$

se, qualunque sia $\epsilon>-0$, esiste un $r$ tale che $l-\epsilon--r$

Prendendo in cosiderazione il seguente banale limite;

$\lim_{n \to 2}(3x^2)/(3x) = 2$

Allora, con $\epsilon>-0$ ipotizziamo $\epsilon=0,5$

Possiamo affermare che $1,5-<2-<2,5$ (che è l'intorno del limite $l$)

Non mi quadra una cosa, cosa si vuol dire con quel "per ogni $n>-r$" ?
La $r$ che riferimento ha? Quanto dovrebbe valere?
Probabilmente avrò scritto corbellerie, ma è per cercare di capire

[@melia]

ma a che cosa deve tendere $n$? Ad un valore finito o a $oo$?
Hai appena dato la definizione di limite per $n -> +oo$ e cerchi un esempio di convalida con $n -> 2$

[ViciousGoblin]

Per chiarire l'uso dei termini (anche in vista di un esame ) vorrei mettere in evidenza che c'e' differenza (terminologica per l'appunto) tra
"la successione converge" e "la successione ha limite". La prima espressione vuol dire che la successione ha limite finito - la seconda
ammette anche il caso di una successione divergente. Peraltro nella discussione si tratta solo di limiti finiti (mi pare) per cui la mia osservazione
e' probabilmente fuori luogo.

[ViciousGoblin]

"visind":Bene, la definizione ce l'abbiamo!
Ma adesso vi svelo che ho difficoltà a comprenderla

Dunque questa è la definizione

$\lim_{n \to \infty}A_n = l$

se, qualunque sia $\epsilon>-0$, esiste un $r$ tale che $l-\epsilon--r$

Prendendo in cosiderazione il seguente banale limite;

$\lim_{n \to 2}(3x^2)/(3x) = 2$

Allora, con $\epsilon>-0$ ipotizziamo $\epsilon=0,5$

Possiamo affermare che $1,5-<2-<2,5$ (che è l'intorno del limite $l$)

Non mi quadra una cosa, cosa si vuol dire con quel "per ogni $n>-r$" ?
La $r$ che riferimento ha? Quanto dovrebbe valere?
Probabilmente avrò scritto corbellerie, ma è per cercare di capire

Stai confondendo limiti di successioni (in cui necessariamente $n\to+\infty$) e limiti di funzione.

EDIT: L'aveva gia' detto @melia

[@melia]

"ViciousGoblin":L'aveva gia' detto @melia

Repetita iuvant

[Sidereus1]

"visind":
Prendendo in cosiderazione il seguente banale limite;

$\lim_{n \to 2}(3x^2)/(3x) = 2$ ....

In una successione $a_n$ si intende che l'indice $n$ vari sui numeri naturali.

Un'espressione come $\lim_{n \to 2}(3n^2)/(3n) = 2$

ha senso solo se $n$ viene intesa come variabile reale, perché se $n$ è naturale allora 2 non può essere un punto di

accumulazione del dominio della funzione $a_n=(3n^2)/(3n)$

e pertanto la definizione di limite (di funzione) è superflua: basta calcolare il valore $a_n$ per $n=2$