Definizione di limite

[Sk_Anonymous]

Salve, stavo ragionando sulla definizione di limite finito per $x$ che tende ad un valore finito di una certa funzione, e volevo sapere se quello che dirò è corretto, visto che sono consapevole del fatto che c'è ancora qualcosa che mi sfugge, nonostante abbia dato Analisi 1 parecchio tempo fa (solo ora mi sto accorgendo che la matematica e l'analisi matematica, in particolare, mi sta entrando davvero in testa).

Supponiamo di avere una funzione reale di variabile reale e consideriamo un punto $x_0$ del suo dominio che sia di accumulazione per il dominio di $f$. Se ci armiamo di calcolatrice e facciamo avvicinare le ascisse al valore $x_0$, può sembrare che le ordinate si avvicinino ad un certo valore finito $l$; quindi, intuitivamente potrei dire che quando le ascisse della funzione tendono al valore $x_0$, le ordinate tendono al valore $l$. Tuttavia, con una calcolatrice non potrei mai dimostrare ciò, dal momento che i numeri sono infiniti!. Pertando, bisogna trovare un altro modo. Supponiamo quindi di avere il sospetto che il limite per $x$ che tende ad $x_0$ di $f(x)$ sia $l$ e consideriamo un certo intorno del valore che penso sia il limite, per esempio $l-2, l+2$. Con assoluta certezza posso dire che:
1) se la disequazione $l-2 2) se è soddisfatta da un intorno di $x_0$, allora HO LA POSSIBILITA' che il limite sia $l$.
Dunque, se è verificato il punto 2, ho la possibilità che il limite sia effettivamente $l$, ma tale possibilità non è certezza.
Se voglio aumentare le probabilità che il limite della mia funzione sia $l$, dovrei considerare un intorno di ordinate più stretto del precedente e verificare che la disequazione $l-1,5x_0) f(x)=l$ se la disequazione $l-e0$, è soddisfatta da un intorno del punto $x_0$. Detto a parole, si dice che $lim_(x->x_0) f(x)=l$ se per ogni $e>0$ (significa: comunque scelga piccolo l'intorno di $l$), esiste un delta>0 (esiste un intorno del punto $x_0$), intorno che ha la proprietà che tutti gli $x$ che vi appartengono, escluso al più il punto $x_0$, hanno ordinata che cade nell'intorno di $l$. Scusate se sono stato lungo, però volevo essere chiaro. Grazie mille per l'aiuto e per la pazienza .

[DajeForte]

"lisdap":Supponiamo di avere una funzione reale di variabile reale e consideriamo un punto $x_0$ del suo dominio che sia di accumulazione per $f$.

Di accumulazione per il dominio di f.

"lisdap":Supponiamo quindi di avere il sospetto che il limite per $x$ che tende ad $x_0$ di $f(x)$ sia $l$ e consideriamo un certo intorno del valore che penso sia il limite, per esempio $l-2, l+2$. Con assoluta certezza posso dire che:
1) se la disequazione $l-2
da ogni intorno di $x_0$ non da semplicemente uno, questo perchè tu devi dimostrare che non esiste un intorno tale che...

"lisdap":2) se è soddisfatta da un intorno di $x_0$, allora HO LA POSSIBILITA' che il limite sia $l$.
Dunque, se è verificato il punto 2, ho la possibilità che il limite sia effettivamente $l$, ma tale possibilità non è certezza.
Se voglio aumentare le probabilità che il limite della mia funzione sia $l$, dovrei considerare un intorno di ordinate più stretto del precedente e verificare che la disequazione $l-1,5x_0) f(x)=l$ se la disequazione $l-e0$, è soddisfatta da un intorno del punto $x_0$. Detto a parole, si dice che $lim_(x->x_0) f(x)=l$ se per ogni $e>0$ (significa: comunque scelga piccolo l'intorno di $l$), esiste un delta>0 (esiste un intorno del punto $x_0$), intorno che ha la proprietà che tutti gli $x$ che vi appartengono, escluso al più il punto $x_0$, hanno ordinata che cade nell'intorno di $l$. Scusate se sono stato lungo, però volevo essere chiaro. Grazie mille per l'aiuto e per la pazienza .

Diciamo di si anche se non parlerei di probabilità.
Da un punto di vista operativo (usando la definizione) per dire che il limite di $f(x)$ (in $x_0$) sia $l$,
comunque fissi $varepsilon>0$, tu devi essere in grado di trovare un intorno del punto $x_0$ ($delta_{x_0,varepsilon}$)
tale che la funzione rimanga bloccata tra l di $varepsilon$