Definizione di limite

[anto_zoolander]

Salve!
Sto facendo Analisi e voglio 'accettare' il concetto di limite. Non mi interessa saper svolgere gli esercizi.
Più che altro vorrei sapere se il concetto che ho assunto è corretto.
Allora.. data f: D -> R si dice che L è limite di f(x) se per ogni ε>0 esiste un intorno di f(x) tale che f(x) appartiene a I tranne al più L. Quindi equivale alla classica definizione | f(x)-L | < ε -> L - ε < f(x) < L + ε ovvero che f(x) appartiene ad un intorno circolare di L con raggio ε strettamente positivo. Ora il dubbio sorge nella seguente esposizione che ho analizzato: equivalentemente a
|f(x)-L| <ε esiste un δ>0 tale che | x- x0 | < δ dove δ dipende da ε. Ora.. L'intorno della x si ottiene esplicitando f(x) e quindi ricavando equivalentemente la
Disequazione in x? Ad esempio... Voglio verificare che f(x)=3x-2 --> 1 per x-->1 con un po di abusi di linguaggio... Comunque, continuando: verifico il mio bel limite | f(x)-1 | <ε ovvero 1-ε< f(x) < ε+1 fissato ε possiamo prendere quindi un qualunque valore dell'intorno ]1-ε;ε+1[ trovando valori sempre più vicini a L. Quindi ora dobbiamo dire 1-ε<3x-2<ε+1 e risolvendo 1-ε/3
Grazie anticipatamente

[Emar1]

Racchiudi le formule tra i simboli di dollaro, saranno molto più leggibili.

"anto_zoolander":
Allora.. data $f: D -> R$ si dice che $L$ è limite di $f(x)$ se per ogni $ε>0$ esiste un intorno di $f(x)$ tale che $f(x)$ appartiene a I tranne al più L.

Questa frase è un po' contorta e contiene due errori (forse uno di distrazione). Data \(f: D \to \mathbb{R}\) si dice che \(\lim_{x \to x_0} f(x) = L\) se per ogni $\varepsilon >0$ esiste un intorno bucato $U$ di $x_0$ tale che \(|f(x) - L| < \varepsilon\) per ogni $x$ nell'intorno $U$.

L'intorno dev'essere di $x_0$. Inoltre è fondamentale che l'intorno $U$ sia bucato, ovvero che non contenga $x_0$ stesso. In termini di $\delta >0$ questo significa che si deve richiedere che la distanza sia strettamente maggiore di $0$, il che equivale a dire che $x$ dev'essere diverso da $x_0$:
\[0 < |x - x_0| < \delta\]

Attenzione però che questa definizione contiene ancora un subdolo errore. L'intorno bucato $U$ infatti va intersecato con il dominio della funzione $f$. La definizione diventa quindi:

Data \(f: D \to \mathbb{R}\) si dice che \(\lim_{x \to x_0} f(x) = L\) se per ogni $\varepsilon >0$ esiste un intorno bucato $U$ di $x_0$ tale che \(|f(x) - L| < \varepsilon\) per ogni $x \in U \cap D$

Ovvero:
\[\lim_{x \to x_0} f(x) = L \quad \iff \quad \forall \ \varepsilon >0, \ \exists \ \delta >0 \quad \text{t.c.} \quad x \in D \ \wedge \ 0 < |x - x_0| < \delta \quad \implies \quad |f(x) - L| < \varepsilon\]

O più sinteticamente:
\[\lim_{x \to x_0} f(x) = L \quad \iff \quad \forall V \ \text{intorno di } L, \ \exists U \ \text{intorno di } x_0 \quad \text{t.c.} \quad f(D \cap U \setminus \{x_0\}) \subset V\]

"anto_zoolander":Voglio verificare che $f(x)=3x-2 -> 1$ per $x->1$ con un po di abusi di linguaggio... Comunque, continuando: verifico il mio bel limite $| f(x)-1 | <ε$ ovvero $1-ε< f(x) < ε+1$ fissato ε possiamo prendere quindi un qualunque valore dell'intorno $]1-ε;ε+1[$ trovando valori sempre più vicini a $L$. Quindi ora dobbiamo dire $1-ε<3x-2<ε+1$ e risolvendo $1-ε/3

Il procedimento di verifica è corretto perché hai dimostrato che per qualsiasi $\varepsilon > 0$ vale $|f(x) - 1|< \varepsilon$ per ogni $x$ che soddisfa $0 < |x -1|< \frac{\varepsilon}{3}$. Attenzione al maggiore stretto di $0$!

"anto_zoolander":
Sarebbe $x_0=1$ e $δ=ε/3$?

Sì esatto

[anto_zoolander]

Intanto grazie mille per la velocità e completezza della risposta. Allora si all'inizio ho sbagliato erroneamente a scrivere che $f(x)$ appartiene all'intorno $B(L,ε)$ aggiungendo tranne al più $L$ ma in effetti è più corretto dire che è un intorno bucato o al limite avrei dovuto scrivere $B(L,ε)-{L}$, quindi grazie.
In secondo luogo: tecnicamente quindi l'intorno di $L$ è abbastanza banale, poiché il semplice $L-ε0$ Troverò punti sempre più vicini ad $L$ dove al limite, per opportuni $ε$, si ha che $f(x) -> L$ in luogo di $X -> Xo$. Spero di aver afferrato bene il concetto.
Non so fare i simboli "appartiene, per ogni e esiste" quindi non ho potuto formalizzare molto.
Grazie ancora

[Emar1]

"anto_zoolander":Allora si all'inizio ho sbagliato erroneamente a scrivere che $f(x)$ appartiene all'intorno $B(L,ε)$ aggiungendo tranne al più $L$ ma in effetti è più corretto dire che è un intorno bucato o al limite avrei dovuto scrivere $B(L,ε)-{L}$, quindi grazie.

Attenzione, l'intorno di $L$ non è bucato!
Considera la funzione costante $f(x) = L$. Se l'intorno fosse bucato si avrebbe che \(\lim_{x \to x_0} f(x) \not = L\) per ogni $x_0$, addirittura il limite non esisterebbe.

Questi concetti poi sono strettamente legati alla continuità. Si potrebbe dire che il limite viene definito come estensione del concetto di continuità (si veda Prodi, "Analisi Matematica"). A tal proposito l'intorno di $x_0$ dev'essere bucato per poter definire le funzioni continue. É necessario infatti che il limite non dipenda dal valore di $f$ in $x_0$ (tanto che in $x_0$ La funzione può anche non essere definita). L'intorno di $L$ invece non dev'essere bucato come fatto notare prima.

[anto_zoolander]

Perfetto grazie. Il Prodi lo devo acquistare a breve invece volevo scrivere un esempio, più che altro per un dubbio che mi è sorto per l'intorno di $x_0$(alla fine) per vedere quello che penso è coerente si fatti.
Data $f:x |-> (x-1)/x$ Voglio calcolare $lim_(x->1)f(x)=0$ Quindi $-ε $1) -ε<(x-1)/x<ε$
$2) -ε<1-1/x<ε$
$3) -1-ε<-1/x<ε-1$
$4) 1/(1+ε) $5) 1/(1+ε)-1 $6) -ε/(1+ε) arrivato a questo punto dovrei ricondurlo nella forma
$|x-x_0|<δ$ il primo lo abbiamo preso ovvero $x_o=1$ ma adesso non abbiamo più un solo valore di δ ma due. Infatti $δ_1=ε/(1-ε)$ e $δ_2=-ε/(1+ε)$
Quindi non abbiamo un intorno circolare ma un intorno completo di $x_0$ ed era più che altro questo l'ultimo dubbio. Poiché non posso scriverlo come $B(x_0,δ)$ ma $B(x_0,δ_1)cupB(x_0,δ_2)-{x_0}$ il che ha perfettamente senso graficamente parlando. Infatti le immagini inverse mediante $f^-1$ si espandono molto più rapidamente.

[Emar1]

"anto_zoolander":
$ -ε/(1+ε)
Sei arrivato ad una forma del tipo:
\[a < x - x_0 < b\]
Ovvero nella forma:
\[\begin{cases} x-x_0 < b \\ -(x - x_0) < - a\end{cases}\]
Scegliendo \(\delta = \min \{|a|,|b|\} \) ottieni:
\[|x - x_0| < \delta \]

[anto_zoolander]

Mh.. però utilizzando $δ=min{a,b}(=(a+b)/2-|a-b|/2)$ ottengo praticamente l'estremo inferiore l'altro estremo sarà $δ=max{a,b}$ sennò mi sfugge qualcosa nell'ultimo pezzo

[Emar1]

Non ho capito...

Provo a rispiegare (cambio lettere per non confondere). Hai ottenuto un intorno non simmetrico del tipo $-e
Attenzione che rispetto al mio messaggio di prima $f = b$ ma $e = -a$.

Ti trovi?

[anto_zoolander]

Ah ok mi sono persuaso. In poche parole hai "tagliato" il pezzo in eccesso dell'intorno per renderlo simmetrico. Giustamente essendo un intorno bucato, $x_0$ è di accumulazione per $B(x_0,δ)-{x_0}$ quindi tramite questa definizione, posso prendere a piacimento un intorno più piccolo. Ho colto?

[Emar1]

Sì il concetto è quello, "tagli il pezzo in eccesso" per renderlo simmetrico.
Il fatto che per la definizione sia bucato non influisce sul fatto che tu possa rimpicciolire l'intorno.

EDIT: Aggiungo che in realtà il fatto che si considerino intorni simmetrici, ovvero palle è solo una questione di comodità. Nella definizione topologica di limite non c'è questo problema (d'altronde su spazi topologici non c'è a priori una nozione "rigida" di distanza).
Quindi, riassumendo, quello di voler "simmetrizzare" è un escamotage per scrivere il limite nella classica forma $\varepsilon\delta$