Definizione di limite

[asromavale1]

qualcuno saprebbe dimostrarmi l'equivalenza tra queste due definizioni di limite?
prima definizione:
$ lim_(n ->+oo ) a{::}_(\ \ n)=ahArr AA epsilon> 0,EE v:| a{::}_(\ \ n)-a| < epsilon,AA n>v $
seconda definizione: $ lim_(n ->+oo ) a{::}_(\ \ n)=ahArr EE c>0:AA epsilon> 0,EE v:| a{::}_(\ \ n)-a| < cepsilon,AA n>v $

[billyballo2123]

Partiamo con quella ovvia: se è soddisfatta la condizione della prima definizione, allora lo è anche quella della seconda con $c=1$.

Viceversa, supponiamo soddisfatta la condizione della seconda definizione, cioè
\[
\exists c>0 : \forall \varepsilon' >0, \exists v: |a_n-a|v.
\]
Fissiamo ora $\varepsilon>0$. Se definiamo $\varepsilon'=\varepsilon/c$ (che è positivo dato che $c>0$), per la seconda definizione possiamo trovare $v$ tale che $|a_n-a|v$. Ma allora
\[
|a_n-a|v,
\]
e dato che $\varepsilon$ lo avevamo fissato arbitrariamente, è soddisfatta anche la condizione della prima definizione.

[asromavale1]

non fa una piega grazie