Definizione di limite

[Pierlu11]

Ciao a tutti, mi chiedevo se per dare una definizione di limite è proprio necessario introdurre prima una metrica negli insiemi di partenza e di arrivo... Nei reali ad esempio, si riuscirebbe a dare una definizione semplicemente sfruttando l'ordinamento (anche se sarebbe un problema definire punti di accumulazione e punti isolati)...
In altre parole non è restrittivo parlare di metrica? Prima dell'introduzione della topologia il limite com'era definito?

[Emar1]

Per parlare di limite non serve una metrica ma basta una topologia. Se poi si vuole che il limite sia unico si deve richiedere che lo spazio topologico sia $T_2$, ovvero separabile (o di Hausdorff). Uno spazio topologico è molto più astratto di uno spazio metrico. L'intorno di un punto è definito (poi dipende dagli autori) come un aperto che contiene quel punto. Come vedi in questo caso il concetto di intorno, da cui segue quello di limite, non ha una particolare forma geometrica.

In $\mathbb{R}$ si può indurre una topologia dall'ordinamento, chiamata appunto topologia di ordine. È più conveniente però, negli spazi euclidei, indurre la topologia dalla metrica (indotta solitamente dalla norma) in quanto tutti gli spazi euclidei sono naturalmente metrici (normati), ma solo in una dimensione abbiamo il lusso dell'ordinamento!

[Pierlu11]

Quindi possiamo dire che il limite per funzioni reali di variabile reale si definisce dall'ordinamento, poi, per generalizzare il discorso ed estenderlo ad altri insiemi, si inizia a parlare di spazi metrici (introducendo una distanza anche tra i reali coerente con l'ordinamento)...
La topologia la vedo come una generalizzazione ancora più grande che comprende quelle situazioni in cui non si può parlare di metrica...