Definizione di lavoro e integrali curvilinei
Ciao, amici! Ho sempre trovato, in rete e nei miei testi di analisi (in quelli di fisica ho trovato solo espressioni implicite di tipo \(\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) 
), il lavoro compiuto da una forza \(\mathbf{F}\) per uno spostamento lungo la curva di sostegno $\gamma$ con parametrizzazione regolare a tratti \(\mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3\) come\[W=\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}dt\]dove \(\mathbf{F}:\gamma\to\mathbb{R}^3\) è una funzione della posizione \(\mathbf{r}\).
Ora, se vogliamo calcolare il lavoro compiuto da una forza che non dipende dalla sola posizione, ma da altri fattori variabili con il tempo, ad esempio la direzione del moto come avviene per l'attrito, non dovremmo piuttosto usare una funzione forza \(\mathbf{F}:[a,b]\to\mathbb{R}^3\) che non dipenda più dalla posizione e definire \(W:=\int_a^b \mathbf{F}(t)\cdot\mathbf{r'}(t)dt\)? Infatti se \(\gamma\) è una curva non semplice, come ad esempio un segmento percorso da un'estremo all'altro "andata e ritorno", credo che il lavoro non sia affatto nullo, mentre \(\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r'}(t)dt\) sarebbe invece nullo...
$\infty$ grazie per ogni risposta!
), il lavoro compiuto da una forza \(\mathbf{F}\) per uno spostamento lungo la curva di sostegno $\gamma$ con parametrizzazione regolare a tratti \(\mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3\) come\[W=\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}dt\]dove \(\mathbf{F}:\gamma\to\mathbb{R}^3\) è una funzione della posizione \(\mathbf{r}\).Ora, se vogliamo calcolare il lavoro compiuto da una forza che non dipende dalla sola posizione, ma da altri fattori variabili con il tempo, ad esempio la direzione del moto come avviene per l'attrito, non dovremmo piuttosto usare una funzione forza \(\mathbf{F}:[a,b]\to\mathbb{R}^3\) che non dipenda più dalla posizione e definire \(W:=\int_a^b \mathbf{F}(t)\cdot\mathbf{r'}(t)dt\)? Infatti se \(\gamma\) è una curva non semplice, come ad esempio un segmento percorso da un'estremo all'altro "andata e ritorno", credo che il lavoro non sia affatto nullo, mentre \(\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r'}(t)dt\) sarebbe invece nullo...
$\infty$ grazie per ogni risposta!
Risposte
Hai ragione a voler generalizzare, se vuoi considerare l'attrito, ma lo devi fare bene. La forza più generale possibile è funzione di posizione, velocità e tempo: $F(r, \dot{r}, t)$. Sono cose che trovi su qualsiasi testo di meccanica. Ti conviene vederle alla maniera dei fisici, perché altrimenti il formalismo matematico oscura tutte le idee. Inoltre nella matematica "pura" non mi pare si abbiqno grqnché di integrali non conservativi.
Grazie per la risposta!!!
"dissonance":A loro volta $r$ e \(\dot r\) sono funzioni di $t$, quindi non è sufficiente scrivere la forza come funzione di $t$ e basta, dato che ad ogni $t$ corrisponde una sola posizione $r$ e una sola velocità \(\dot r\)?
La forza più generale possibile è funzione di posizione, velocità e tempo: $F(r, \dot{r}, t)$.
Ma si, va pure bene, è piu' che altro una questione di notazioni. E' che di solito di queste cose si calcolano vari tipi di derivata: rispetto ad $r$, ad $\dot{r}$, totale rispetto al tempo, parziale rispetto al tempo... Se tu ometti cosi' la dipendenza di $F$ dai vari parametri poi avrai problemi per calcolarle. Per dire, se io avessi scritto cosi' all'esame di meccanica il professore mi avrebbe sicuramente corretto, ecco.
Capito tutto. $\infty$ grazie!!!
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