Definizione di $L_p$

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Trovo sul Kolmgorov-Fomin la definizione di $L_p$, come spazio delle funzioni $f:X\to\mathbb{C}$ a tali che per $p\geq 1$ valga $\int_X |f(x)|^p d\mu<\infty$.
Ciò significa che se \(|f|^p\) e \(|g|^p\) sono integrabili anche \(|f+g|^p\) lo è? O nella definizione di $L_p$ si impone che per ogni funzione appartenente a tale spazio esista finito, oltre a $\int_X |f(x)|^p d\mu$, anche $\int_X f(x)^p d\mu$?
Grazie a tutti per ogni chiarimento!!!

[DavideGenova1]

Trovato: da quanto leggo in rete sembra che tutti impongano che le funzioni appartenenti a $L_p$ siano misurabili. Quindi è altamente probabile che il K-F sottintenda, pur non dicendolo esplicitamente, questa condizione.

[axpgn]

[ot]Perdonami la battuta Davide però ... capisco che tu abbia una formazione classica ma di solito non si fa l'esegesi di un libro di matematica ...
Scusami ancora ... [/ot]
Cordialmente, Alex

[Emar1]

Prova a dare una letta anche qui: viewtopic.php?t=133577

[DavideGenova1]

@axpgn:

Nonostante mi ci sia fatto venire l'emicrania, questo è nulla. Qualche pagina prima trovo scritto che se la misura $\mu$ è concentrata in un numero finito di punti, allora \(L_1(X,\mu)\) sarà semplicemente uno spazio a dimensione finita dove di $X$ si è solo detto (chiamandolo però $R$) che è uno spazio metrico dotato di misura tale che gli aperti e i chiusi sono misurabili e per ogni insieme misurabile $M\subset R$ e per ogni \(\varepsilon>0\) esiste un \(G\supset M\) (che si capisce in seguito dal contesto che dovrebbe essere un aperto) tale che \(\mu(G\setminus A)<\varepsilon\). Ora, visto che si parla di dimensione si suppone che $X$ sia uno spazio vettoriale metrizzabile, ma con solo questa ipotesi non sembra neanche che quanto detto sia vero.

Grazie a tutti, ragazzi!!!