Definizione di integrazione secondo lebesgue
Salve a tutti potreste darmi una definizione corretta per quanto riguarda l integrazione secondo lebesgue? Perchè il mio prof non ci ha dato una definizione chiara.
La definizione che mi ritrovo nel quaderno è la seguente.
sia
$ f:[a,b]->R $ una funzione limitata. Allora la funzione è dotata di max e min.
$ f([a,b])*[m,M] $ esempio se $ [alpha ,beta ]sube [m,M] $
$ f^-1([alpha ,beta ]) = { ( x in [a,b] ),( alpha <= f<= beta ):} $ che è la controimmagine dell'intervallo.
Quindi si costruiscono gli intervallini $ ]y_i-1,y_i] sube [m,M] $
Quindi possiamo definire la successione delle somme superiori e inferiori .
Si puo dimostrare che i due insiemi sono separati e contigui e si definisce integrale di lebesgue l elemento di separazione fra essi.
La definizione che mi ritrovo nel quaderno è la seguente.
sia
$ f:[a,b]->R $ una funzione limitata. Allora la funzione è dotata di max e min.
$ f([a,b])*[m,M] $ esempio se $ [alpha ,beta ]sube [m,M] $
$ f^-1([alpha ,beta ]) = { ( x in [a,b] ),( alpha <= f<= beta ):} $ che è la controimmagine dell'intervallo.
Quindi si costruiscono gli intervallini $ ]y_i-1,y_i] sube [m,M] $
Quindi possiamo definire la successione delle somme superiori e inferiori .
Si puo dimostrare che i due insiemi sono separati e contigui e si definisce integrale di lebesgue l elemento di separazione fra essi.
Risposte
Ciao!
Mancano alcuni passaggi abbastanza importanti negli appunti, provo a darti una definizione completa.
Premetto che, prima di passare all'integrale di Lebesgue, si dovrebbe studiare la misura di Lebesgue, perchè proprio nella definizione di integrale di Lebesgue compaiono nozioni sulla misura, come i concetti di "insiemi misurabili" e "funzioni misurabili".
Sia $f:Omega\subsetRR rarr RR$ una funzione misurabile e limitata, definita sull'insieme $Omega\subsetRR$ misurabile e limitato anch'esso.
Quindi $f(x)in[m,M]$ per ogni $x inOmega$ ($m,M$ sono, rispettivamente l'inf e il sup di $f$ su $Omega$)
Sia $\mathcal{P}=$${alpha_0,alpha_1,...,alpha_n}$ una partizione di $[m,M]$ con $m=alpha_0
- somme inferiori relative alla funzione $f$ e alla partizione $\mathcal{P}$ come $s(\mathcal{P},f)=\sum_{i=1}^n alpha_{i-1}*|Omega_i|$
dove $|Omega_i|$ è la misura (uni-dimensionale) di $Omega_i$
- somme superiori ecc ecc $S(\mathcal{P},f)=\sum_{i=1}^n alpha_i*|Omega_i|$
A questo punto è chiaro che, per ogni partizione $\mathcal{P}$ vale:
$m*|Omega|<=s(\mathcal{P},f)<=S(\mathcal{P},f)<=M*|Omega|$
Indico con $s(f),S(f)$, rispettivamente, il sup delle $s(\mathcal{P},f)$ rispetto a tutte le partizioni e l'inf delle $S(\mathcal{P},f)$ rispetto a tutte le partizioni.
Vale ovviamente $s(f)<=S(f)$
In realtà è facile mostrare che vale l'uguaglianza e quindi si definisce questo numero $s(f)=S(f)$ come l'integrale di Lebesgue di $f$ su $Omega$ e lo si indica con $\int_{Omega} f(x)dx$
Spero di esser stato chiaro, ciao!
Mancano alcuni passaggi abbastanza importanti negli appunti, provo a darti una definizione completa.
Premetto che, prima di passare all'integrale di Lebesgue, si dovrebbe studiare la misura di Lebesgue, perchè proprio nella definizione di integrale di Lebesgue compaiono nozioni sulla misura, come i concetti di "insiemi misurabili" e "funzioni misurabili".
Sia $f:Omega\subsetRR rarr RR$ una funzione misurabile e limitata, definita sull'insieme $Omega\subsetRR$ misurabile e limitato anch'esso.
Quindi $f(x)in[m,M]$ per ogni $x inOmega$ ($m,M$ sono, rispettivamente l'inf e il sup di $f$ su $Omega$)
Sia $\mathcal{P}=$${alpha_0,alpha_1,...,alpha_n}$ una partizione di $[m,M]$ con $m=alpha_0
- somme inferiori relative alla funzione $f$ e alla partizione $\mathcal{P}$ come $s(\mathcal{P},f)=\sum_{i=1}^n alpha_{i-1}*|Omega_i|$
dove $|Omega_i|$ è la misura (uni-dimensionale) di $Omega_i$
- somme superiori ecc ecc $S(\mathcal{P},f)=\sum_{i=1}^n alpha_i*|Omega_i|$
A questo punto è chiaro che, per ogni partizione $\mathcal{P}$ vale:
$m*|Omega|<=s(\mathcal{P},f)<=S(\mathcal{P},f)<=M*|Omega|$
Indico con $s(f),S(f)$, rispettivamente, il sup delle $s(\mathcal{P},f)$ rispetto a tutte le partizioni e l'inf delle $S(\mathcal{P},f)$ rispetto a tutte le partizioni.
Vale ovviamente $s(f)<=S(f)$
In realtà è facile mostrare che vale l'uguaglianza e quindi si definisce questo numero $s(f)=S(f)$ come l'integrale di Lebesgue di $f$ su $Omega$ e lo si indica con $\int_{Omega} f(x)dx$
Spero di esser stato chiaro, ciao!
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