Definizione di integrale doppio ( somme inferiori,superiori)

[nadia891]

Nell'introduzione del concetto di integrale vengono introdotti $s(P) , S(P)$ che sono rispettivamente la somma inferiore di una funzione $f$ rispetto alla partizione $P $ e somma superiore.
Per dare la definzione ho bisogno di dimostrare che sup$ ( s(P)) <=$ inf $ (S(P))$ .Non riesco però a collegare questa tesi con la proprietà che $ s(P)<= S(Q)$ con $ P e Q $ qualsiasi partizioni !

[gugo82]

Per ogni partizione \(Q\) hai:
\[
\forall P\text{ partizione},\ s(P)\leq S(Q)\; ,
\]
quindi, prendendo l'estremo superiore rispetto a \(P\) trovi:
\[
\sup_{P\text{ partizione}} s(P)\leq S(Q)\; ;
\]
d'altra parte, la precedente disuguaglianza vale per ogni \(Q\), quindi si conserva quando passi all'estremo inferiore, i.e.:
\[
\sup_{P\text{ partizione}} s(P)\leq \inf_{Q\text{ partizione}} S(Q)\; ,
\]
e ciò è quanto volevi.

Un altro modo di vederla è il seguente: la disuguaglianza \(s(P)\leq S(Q)\) ti dice che gli insiemi numerici \(\sigma :=\{s(P),\ P\text{ partizione}\}\) e \(\Sigma:=\{S(P),\ P\text{ partizione}\}\) sono insiemi separati, quindi:
\[
\sup_{P\text{ partizione}} s(P) = \sup \sigma \leq \inf \Sigma = \inf_{P\text{ partizione}} S(P)\; .
\]

[nadia891]

giusto anche se il mio problema è riuscire proprio a dimostrare che se $A in B $ allora $ s(A) <= s(B) <= S(B) <= S(A)$,
cioè se suppongo per generelizzare che c'è $ X = X' uuX''$ e siano $ m= $inf $_ X f, m'= $ inf$_X' f$, $ m''= $ inf $_X'' f$ e così via pure per il sup .. allora ho che $ m' , m'' >= m$ e $ M' , M'' <=M$ per la tesi devo dimostrare che : ( $m(X)$= misura di X)
$ m m (x) <= m' m(X') + m'' m(X'') <= M' m(X') + M'' m(X'') <= Mm(X)$
ora le prime due disuguaglianze sono ovvie ma l'ultima no (e mi serve per arrivare alla tesi)perchè se $M' , M" <=M$ chi mi garantisce che anche la somma sarà <= ??