Definizione di insieme connesso dubbiosa
Ho dei dubbi sulla definizione di insieme connesso.
E' la stessa cosa affermare che un insieme è connesso oppure dire che è "connesso per archi".
Il prof da questa definizione:
si dice che un insieme è $Omega$ è connesso se esiste una funzione $gamma:[0,1]->omega$ continua :
$AAx_1,x_2 in Omega$ , $gamma[0]=x_1$ , $gamma[1]=x_2$
Negli appunti trovo la definizione di connesso per archi dove l'unica cosa che cambia è il dominio della funzione da $[0,1]$ a $[a,b]$ e quindi $gamma[a]=x_1$ , $gamma=x_2$.
Nel caso le due definizione si riferissero alla stessa cosa mi chiedo quale delle due è la più corretta.
Grazie
E' la stessa cosa affermare che un insieme è connesso oppure dire che è "connesso per archi".
Il prof da questa definizione:
si dice che un insieme è $Omega$ è connesso se esiste una funzione $gamma:[0,1]->omega$ continua :
$AAx_1,x_2 in Omega$ , $gamma[0]=x_1$ , $gamma[1]=x_2$
Negli appunti trovo la definizione di connesso per archi dove l'unica cosa che cambia è il dominio della funzione da $[0,1]$ a $[a,b]$ e quindi $gamma[a]=x_1$ , $gamma=x_2$.
Nel caso le due definizione si riferissero alla stessa cosa mi chiedo quale delle due è la più corretta.
Grazie
Risposte
Definizione. Uno spazio $X$ è connesso se non esistono due aperti disgiunti $U$ e $V$ tali che $X=U\cup Y$.
Equivalentemente, $X$ è connesso se: dato $A\subset X$ che sia aperto e chiuso, si ha che $A=X$ oppure $A=\emptyset$. (Prova a dimostrare che questa condizione è equivalente a quella sopra. Non è difficile, è solo un esercizio per aiutare la memoria ha imparare la definizione.)
Definizione. Uno spazio $X$ è connesso per archi se, dati due punti $x,y\in X$, esiste una funzione continua $\gamma:[0,1]\to X$, dove $[0,1]$ ha la topologia euclidea, tale che $\gamma(0)=x$ e $\gamma(1)=y$.
Dato che $[0,1]$ è omeomorfo a qualsiasi altro intervallo reale $[a,b]$ con $a
Proposizione. Se $X$ è connesso per archi, allora $X$ è connesso.
Prova a dimostrare questo fatto. In generale invece l'altra implicazione non vale, ecco un controesempio "famoso".
Esempio (La pulce e il pettine). Nel piano reale euclideo, considera gli insiemi
$$A:=\{0\}\times[0,1],\qquad B:=\{1\}\times[0,1],\qquad C_n:=[0,1]\times\{1/n\},$$
considera il punto $P:=(1/2,0)$ e definisci
$$X:=A\cup B\cup\bigg(\bigcup_{n\le1}C_n\bigg)\cup\{P\},\qquad X':=X\setminus\{P\}.$$Allora si dimostra che $X$ è connesso, ma NON connesso per archi. Per farlo, si può sfruttare che $X'$ è uno spazio connesso per archi...
Quindi sembra che tutto sia perduto, ma in realtà in certe ipotesi i concetti di spazio connesso e spazio connesso per archi coincidono. Ad esempio si ha il seguente risultato.
Proposizione. Sia $X$ uno spazio tale che ogni punto abbia un intorno connesso per archi (per esempio, possiamo prendere $X$ localmente connesso per archi). Allora $X$ è connesso se e solo se $X$ è connesso per archi.
Equivalentemente, $X$ è connesso se: dato $A\subset X$ che sia aperto e chiuso, si ha che $A=X$ oppure $A=\emptyset$. (Prova a dimostrare che questa condizione è equivalente a quella sopra. Non è difficile, è solo un esercizio per aiutare la memoria ha imparare la definizione.)
Definizione. Uno spazio $X$ è connesso per archi se, dati due punti $x,y\in X$, esiste una funzione continua $\gamma:[0,1]\to X$, dove $[0,1]$ ha la topologia euclidea, tale che $\gamma(0)=x$ e $\gamma(1)=y$.
Dato che $[0,1]$ è omeomorfo a qualsiasi altro intervallo reale $[a,b]$ con $a
Proposizione. Se $X$ è connesso per archi, allora $X$ è connesso.
Prova a dimostrare questo fatto. In generale invece l'altra implicazione non vale, ecco un controesempio "famoso".
Esempio (La pulce e il pettine). Nel piano reale euclideo, considera gli insiemi
$$A:=\{0\}\times[0,1],\qquad B:=\{1\}\times[0,1],\qquad C_n:=[0,1]\times\{1/n\},$$
considera il punto $P:=(1/2,0)$ e definisci
$$X:=A\cup B\cup\bigg(\bigcup_{n\le1}C_n\bigg)\cup\{P\},\qquad X':=X\setminus\{P\}.$$Allora si dimostra che $X$ è connesso, ma NON connesso per archi. Per farlo, si può sfruttare che $X'$ è uno spazio connesso per archi...
Quindi sembra che tutto sia perduto, ma in realtà in certe ipotesi i concetti di spazio connesso e spazio connesso per archi coincidono. Ad esempio si ha il seguente risultato.
Proposizione. Sia $X$ uno spazio tale che ogni punto abbia un intorno connesso per archi (per esempio, possiamo prendere $X$ localmente connesso per archi). Allora $X$ è connesso se e solo se $X$ è connesso per archi.
Forse il tuo professore intedeva $Omega subset RR^n$ aperto, in questo caso la definizione va bene (è un caso particolare della seconda proposizione scritta da Trilogy)
Ragazzi, dite cose corrette ma la domanda era MOLTO più basica. Zio mangrovia chiede solo se c'è differenza tra il richiedere che le curve siano definite su \([a, b]\) o su \([0,1]\). La risposta è che non cambia nulla, per il motivo seguente.
Se due punti \(x\) e \(y\) sono connessi dalla curva \(\gamma\colon [a, b]\to \mathbb R^n\), nel senso che \(\gamma(a)=x, \gamma(b)=y\), allora possiamo definire una nuova curva
\[
\tilde\gamma(t)=\gamma\left( a+t(b-a)\right),\qquad t\in[0,1], \]
e risulta che \(\tilde\gamma\) è definita su \([0,1]\) e connette \(x\) e \(y\).
Se due punti \(x\) e \(y\) sono connessi dalla curva \(\gamma\colon [a, b]\to \mathbb R^n\), nel senso che \(\gamma(a)=x, \gamma(b)=y\), allora possiamo definire una nuova curva
\[
\tilde\gamma(t)=\gamma\left( a+t(b-a)\right),\qquad t\in[0,1], \]
e risulta che \(\tilde\gamma\) è definita su \([0,1]\) e connette \(x\) e \(y\).
Se lo studente medio di matematica non ti parla a sproposito di spazi topologici non è contento
"Vulplasir":
Se lo studente medio di matematica non ti parla a sproposito di spazi topologici non è contento
Lo dici in modo provocatorio, ma sono sostanzialmente d'accordo con questa affermazione. Proprio di recente consigliavo di "tacere e calcolare", che è anche una affermazione provocatoria, ma contiene della verità.
Però @Dissonance
Non capisco come fai a dire che il suo dubbio fosse quello, qui sembra che abbia anche un problema di nomenclatura. E poi se gli dici che queste due definizioni sono equivalenti gli rimane in testa un concetto del tipo "connesso e connesso per archi sono equivalenti" che può essergli dannoso in futuro.
"zio_mangrovia":
Ho dei dubbi sulla definizione di insieme connesso.
E' la stessa cosa affermare che un insieme è connesso oppure dire che è "connesso per archi".
Grazie
Non capisco come fai a dire che il suo dubbio fosse quello, qui sembra che abbia anche un problema di nomenclatura. E poi se gli dici che queste due definizioni sono equivalenti gli rimane in testa un concetto del tipo "connesso e connesso per archi sono equivalenti" che può essergli dannoso in futuro.
"Ernesto01":
Forse il tuo professore intedeva $Omega subset RR^n$ aperto, in questo caso la definizione va bene (è un caso particolare della seconda proposizione scritta da Trilogy)
Non lo so ma è servita questa definizione per annunciare subito dopo il teorema degli zeri, visto che si cita un insieme connesso. Ti dice qualcosa quindi questo ulteriore dettaglio?
"dissonance":
Ragazzi, dite cose corrette ma la domanda era MOLTO più basica. Zio mangrovia chiede solo se c'è differenza tra il richiedere che le curve siano definite su \([a, b]\) o su \([0,1]\). La risposta è che non cambia nulla, per il motivo seguente.
Se due punti \(x\) e \(y\) sono connessi dalla curva \(\gamma\colon [a, b]\to \mathbb R^n\), nel senso che \(\gamma(a)=x, \gamma(b)=y\), allora possiamo definire una nuova curva
\[
\tilde\gamma(t)=\gamma\left( a+t(b-a)\right),\qquad t\in[0,1], \]
e risulta che \(\tilde\gamma\) è definita su \([0,1]\) e connette \(x\) e \(y\).
Grazie 1000 dissonance , hai proprio centrato la domanda e grazie per la risposta.
[ot]
Non capisco come fai a dire che il suo dubbio fosse quello, qui sembra che abbia anche un problema di nomenclatura. E poi se gli dici che queste due definizioni sono equivalenti gli rimane in testa un concetto del tipo "connesso e connesso per archi sono equivalenti" che può essergli dannoso in futuro.[/quote]
Che il dubbio riguardasse la differenza tra il definire un cammino su $[0,1]$ oppure $[a,b]$ si capiva da come sono stati definiti "connesso" e "connesso per archi" all'inizio. Il punto, su cui siamo d'accordo, è che è facile vedere che sono equivalenti, mentre mi pare tragico dargli i nomi sbagliati e andare in giro convinti che "connesso per archi" significhi che il dominio è $[a,b]$. Mi sono perso quei dieci minuti a scrivere nel modo più ordinato possibile solo perché ultimamente dovevo correggere dei compiti in cui la "connessione" di uno spazio topologico era usata in modo intuitivo senza alcun rigore. Va bene l'intuizione, ma è bene aver chiare le definizioni.[/ot]
"Ernesto01":
Però @Dissonance
[quote="zio_mangrovia"]Ho dei dubbi sulla definizione di insieme connesso.
E' la stessa cosa affermare che un insieme è connesso oppure dire che è "connesso per archi".
Grazie
Non capisco come fai a dire che il suo dubbio fosse quello, qui sembra che abbia anche un problema di nomenclatura. E poi se gli dici che queste due definizioni sono equivalenti gli rimane in testa un concetto del tipo "connesso e connesso per archi sono equivalenti" che può essergli dannoso in futuro.[/quote]
Che il dubbio riguardasse la differenza tra il definire un cammino su $[0,1]$ oppure $[a,b]$ si capiva da come sono stati definiti "connesso" e "connesso per archi" all'inizio. Il punto, su cui siamo d'accordo, è che è facile vedere che sono equivalenti, mentre mi pare tragico dargli i nomi sbagliati e andare in giro convinti che "connesso per archi" significhi che il dominio è $[a,b]$. Mi sono perso quei dieci minuti a scrivere nel modo più ordinato possibile solo perché ultimamente dovevo correggere dei compiti in cui la "connessione" di uno spazio topologico era usata in modo intuitivo senza alcun rigore. Va bene l'intuizione, ma è bene aver chiare le definizioni.[/ot]
La morale di questo post è che non bisogna usare le parole a sproposito. I primi due righi dell'OP sono ridondanti:
e hanno generato confusione.
"roba inutile":
Ho dei dubbi sulla definizione di insieme connesso.
E' la stessa cosa affermare che un insieme è connesso oppure dire che è "connesso per archi".
e hanno generato confusione.
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