Definizione di funzione meromorfa
Ho a disposizione 4 definizioni di funzione meromorfa: sia $Omega$ un aperto di $CC$. [Se $U$ è un aperto di $CC$ allora indichiamo con $\mathcal{O}(U)$ la $CC$-algebra delle funzioni olomorfe $U \to CC$.]
1) Una funzione $f : Omega to CC \cup {\infty}$ si dice MEROMORFA se localmente si scrive come rapporto di due funzioni olomorfe: cioè se per ogni $z_0 in Omega$ esistono $epsilon > 0$ e $h,g in \mathcal{O}(B(z_0,epsilon))$ tali che:
- $B(z_0,epsilon) \subseteq \Omega$
- $g(B(z_0,epsilon)-{z_0}) \subseteq CC - {0}$ (cioè $g$ è non nulla in un intorno di $z_0$ con l'eventuale eccezione di $z_0$)
- per ogni $z in B(z_0,epsilon)$ vale $f(z)={h(z)}/{g(z)}$.
[se fosse $g(z_0) = 0$ allora si guardano le molteplicità con cui $z_0$ è zero di $g$ e di $h$ e a seconda dei casi $f(z_0)= infty$, $f(z_0)=0$ o $f(z_0) in CC - {0}$.]
2) Una funzione meromorfa su $Omega$ è un'applicazione olomorfa $f : Omega \to \mathbb{P}^1(CC)$, nel senso di applicazione olomorfa tra varietà complesse.
3) Se $Omega$ è connesso, allora l'anello $\mathcal{O}(Omega)$ è un dominio d'integrità. Una funzione meromorfa su $Omega$ è un elemento del campo dei quozienti di $\mathcal{O}(Omega)$.
Alcune osservazioni:
i) Se $f$ è meromorfa seconda la def.1, allora $f^{-1}(infty)$ è discreto e $f$ è olomorfa su $Omega - f^{-1}(infty)$.
ii) La funzione costante $infty$ è meromorfa secondo la def.2 ma non secondo la def.1.
iii) Se l'aperto $Omega$ è connesso, allora ogni funzione meromorfa secondo la def.3 lo è anche secondo la def.1.
Le tre definizioni sono equivalenti?
[Ho postato in geometria, ma potrebbe darsi che questo post debba essere trasferito in analisi, visto che si tratta di analisi complessa]
1) Una funzione $f : Omega to CC \cup {\infty}$ si dice MEROMORFA se localmente si scrive come rapporto di due funzioni olomorfe: cioè se per ogni $z_0 in Omega$ esistono $epsilon > 0$ e $h,g in \mathcal{O}(B(z_0,epsilon))$ tali che:
- $B(z_0,epsilon) \subseteq \Omega$
- $g(B(z_0,epsilon)-{z_0}) \subseteq CC - {0}$ (cioè $g$ è non nulla in un intorno di $z_0$ con l'eventuale eccezione di $z_0$)
- per ogni $z in B(z_0,epsilon)$ vale $f(z)={h(z)}/{g(z)}$.
[se fosse $g(z_0) = 0$ allora si guardano le molteplicità con cui $z_0$ è zero di $g$ e di $h$ e a seconda dei casi $f(z_0)= infty$, $f(z_0)=0$ o $f(z_0) in CC - {0}$.]
2) Una funzione meromorfa su $Omega$ è un'applicazione olomorfa $f : Omega \to \mathbb{P}^1(CC)$, nel senso di applicazione olomorfa tra varietà complesse.
3) Se $Omega$ è connesso, allora l'anello $\mathcal{O}(Omega)$ è un dominio d'integrità. Una funzione meromorfa su $Omega$ è un elemento del campo dei quozienti di $\mathcal{O}(Omega)$.
Alcune osservazioni:
i) Se $f$ è meromorfa seconda la def.1, allora $f^{-1}(infty)$ è discreto e $f$ è olomorfa su $Omega - f^{-1}(infty)$.
ii) La funzione costante $infty$ è meromorfa secondo la def.2 ma non secondo la def.1.
iii) Se l'aperto $Omega$ è connesso, allora ogni funzione meromorfa secondo la def.3 lo è anche secondo la def.1.
Le tre definizioni sono equivalenti?
[Ho postato in geometria, ma potrebbe darsi che questo post debba essere trasferito in analisi, visto che si tratta di analisi complessa]
Risposte
Non sono in grado di esserti d'aiuto, visto che non avevo mai visto le definizioni 2) e 3) di funzione meromorfa.
Però secondo logica, l'osservazione ii) dovrebbe implicare che le definizioni 1) e 2) così come le hai enunciate, non sono equivalenti.
Per quanto riguarda l'equivalenza fra 1) e 3), a me sembra che una funzione meromorfa secondo 2) è anche meromorfa secondo 1), perchè un elemento del campo dei quozienti di $\mathcal{O}(\Omega)$ dovrebbe essere sostanzialmente un rapporto fra funzioni olomorfe di cui la funzione al denominatore non (ovunque) nulla. Per il viceversa non saprei dire...
So che non è una genialità quella che ho scritto, aspettiamo qualche parere più esperto di analisi complessa.
Nel frattempo sposto in analisi. Questo thread lo vedo meglio lì.
Però secondo logica, l'osservazione ii) dovrebbe implicare che le definizioni 1) e 2) così come le hai enunciate, non sono equivalenti.
Per quanto riguarda l'equivalenza fra 1) e 3), a me sembra che una funzione meromorfa secondo 2) è anche meromorfa secondo 1), perchè un elemento del campo dei quozienti di $\mathcal{O}(\Omega)$ dovrebbe essere sostanzialmente un rapporto fra funzioni olomorfe di cui la funzione al denominatore non (ovunque) nulla. Per il viceversa non saprei dire...
So che non è una genialità quella che ho scritto, aspettiamo qualche parere più esperto di analisi complessa.
Nel frattempo sposto in analisi. Questo thread lo vedo meglio lì.
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