Definizione di funzione integrabile

[dRic]

Salve, ho difficoltà a capire perché la seguente funzione è integrabile su $[0, 2]$

\( f(x) = \begin{cases} 1 \text { per } x = 1 \\ 0 \text { altrove} \end{cases} \)

Io so che una funzione è integrabile sse $U(f, P) - L(f, P) < \epsilon$ per ogni $\epsilon > 0 $, dove:

$P$ è una "partizione" qualsiasi di $[0, 2]$
$U$ è la somma delle aree per "eccesso" (upper)
$L$ è la somme delle aree per "difetto" (lower).

Uso la notazione che ho trovato sullo spivak, non so quale sia quella standard in italiano.

La partizione $P$ è definita, arbitrariamente, come $P = {t_0 = 0, . . . , t_n = 2}$ con $t_{j-1} < 1 < t_j$.

Dalla definizione di $L$ (le aree per "difetto") ho che:

$L(f, P) = sum_{i=1}^{j-1} m_i(t_{i-1}-t_i) + m_j(t_j-t_{j-1}) + sum_{i=j+1}^{n} m_i(t_i - t_{i-1}) = 0$ sempre.

($m_i$ è il minimo, o meglio il punto inferiore, della funzione nell'intervallo $[i-1, i]$)

Se faccio la stessa cosa con $U$ (upper), ovvero le aree per eccesso, ottengo che

$U(f, P) = M_j(t_j-t_{j-1})$

dove $M$ è l'estremo superiore nell'intervallo $[j-1, j]$. Ovviamente $M = 1$, quindi la condizione affinché $f$ sia integrabile è:

$U(f, P)-L(f, P) = t_j-t_{j-1} - 0 < \epsilon$

Magari è semplicemente un problema mio (sto studiano per diletto questo cose e non sono molto pratico con la logica matematica), ma se la disequazione sopra scritta deve essere vera per ogni $\epsilon > 0$, allora ciò implica che $t_j = t_{j-1}$, ma questo è in contrasto con la definizione di $P$ che avevo dato all'inizio: $t_{j-1} < 1 < t_j$.

Qualcuno mi può dare una mano a capire? Grazie in anticipo!

[marco.ve1]

"dRic":
$P$ è una "partizione" qualsiasi di $[0, 2]$

Credo che il problema sia qui, P dev'essere un'opportuna partizione di $[0,2]$ (in tal caso per le somme superiori basta prendere $t_{j-1}=1-\epsilon/4$ e $t_j=1+\epsilon/4 $). Prova a riportare la definizione del libro di funzione integrabile.

(se poi ti fai un disegno capisci subito come partizioni 'larghe' possono approssimare solo fino a un certo punto)

[anto_zoolander]

la definizione, o per meglio dire 'una' definizione, corretta è la seguente:
data $f:J->RR$ con $J$ intervallo chiuso e limitato di $RR$ diremo che $f$ è integrabile secondo Riemann in $J$ se

$forallepsilon>0existsP inS(J):U(f,P)-L(f,P)
ove $S(J)$ è l'insieme delle suddivisioni di $J$

la funzione è ovunque nulla in $[0,2]$ tranne in $x=1$. Pertanto prendi un qualsiasi $epsilon>0$ e considerando la suddivisione ${0,1,2}$ si avrà che $U(f,P)-L(f,P)=0-0=0 Nota che ${0,1,2}$ ti va bene per qualsiasi $epsilon$ tu fissi...

poi puoi prendere pure le suddivisione più brutte della terra, ma se ci butti $1$ all'interno otterrai la tesi.

fine.

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[dRic]

in questo commento avevo scritto qualcosa che non mi torna, ma non lo posso cancellare...

[dRic]

"anto_zoolander":considerando la suddivisione ${0,1,2}$ si avrà che $U(f,P)-L(f,P)=0-0=0 Nota che ${0,1,2}$ ti va bene per qualsiasi $epsilon$ tu fissi...

No, aspetta, non mi torna. Come fa $U(f, P)$ ad essere zero sulla suddivisione ${0, 1, 2}$?

[dissonance]

"dRic":
Uso la notazione che ho trovato sullo spivak, non so quale sia quella standard in italiano.

Se hai definito correttamente tutti i simboli (e tu lo hai fatto) puoi usare un po' la notazione che vuoi, a patto che non sia troppo strampalata. Le notazioni standard in inglese sono standard pure in italiano.

[anto_zoolander]

mi sono gettato con troppa leggerezza mancando di chiarezza, ti spiego.
Il fatto è che ho seguito la strada delle somme superiori e inferiori avendo in testa tutt'altro.

Usiamo un'altra definizione di integrabilità, che era quella che avevo in mente.
Sai che una funzione è integrabile se e solo se l'integrale superiore coincide con l'integrale inferiore, no?

L'integrale inferiore è sicuramente $0$, vogliamo mostrare che anche l'integrale superiore lo è.
Presa la suddivisione $P={0,1,2}$ la funzione definita esattamente come $f$ è una funzione a gradino su $P$ che maggiora $f$ su tutto l'intervallo.
Ricorda che una funzione $v$ è a gradino su un intervallo $J$ se esiste una suddivisione $P={x_0,...,x_n}$ di $J$ tale che $forallj in{1,...,n} exists! c inRR:v(x)=c,forallx in(x_(j-1),x_j)$

in poche parole su ciascuno degli intervalli aperti disgiunti di $JsetminusP$ la funzione sia costante.
Nel nostro caso la funzione

$v(x):={(0 if x in[0,1)),(1 ifx=1),(0 if x in(1,2]):}$ è una funzione a gradino su ${0,1,2}$

questo cosa significa? che per ogni $epsilon>0$ esiste questa funzione a gradino che maggiora $f$ su tutto l'intervallo e quindi il suo integrale, farà parte dell'insieme di tutti gli integrali delle funzioni a gradino che maggiorano $f$ su tale intervallo, ma ne sarà anche il valore più piccolo.

Per quanto riguarda le somme superiori e inferiori, non so se si possa risolvere lavorando sulle somme stesse.

plus:
per risolverla in modo 'semplice' concettualmente parlando, si può vedere $f$ stessa come una funzione a gradino e quindi porre dalla definizione che

$intf(x)dx:=0*(1-0)+0*(2-1)$

di fatto ricorda che data una funzione $v:J->RR$ che sia a gradino su $J$ si pone

$intv(x)dx:=sum_(k=1)^(n)c_k*(x_k-x_(k-1))$

ove gli $P={x_0,...,x_n}$ è una suddivisione di $J$ in cui $v$ risulta essere a gradino.

[dissonance]

"dRic":
$U(f, P)-L(f, P) = t_j-t_{j-1} - 0 < \epsilon$

Magari è semplicemente un problema mio (sto studiano per diletto questo cose e non sono molto pratico con la logica matematica), ma se la disequazione sopra scritta deve essere vera per ogni $\epsilon > 0$, allora ciò implica che $t_j = t_{j-1}$,

No, perché la partizione dipende da \(\epsilon\).

In questo caso specifico, la funzione è integrabile e il suo integrale vale \(0\). Dimostrazione. Siccome \(f\ge 0\), allora
\[\tag{1}
0\le L(f, P)\le U(f,P)
\]
per ogni partizione \(P\). Sia \(\epsilon>0\). Scegliendo la partizione
\[
P_\epsilon=\{0, 1-\tfrac\epsilon2, 1, 1 + \tfrac\epsilon 2, 2\}
\]
si ha che \(U(f, P_\epsilon)=\epsilon\). Abbiamo così dimostrato che per ogni \(\epsilon>0\) esiste una partizione \(P_\epsilon\) tale che
\[
0\le L(f,P_\epsilon)\le U(f, P_\epsilon)\le \epsilon, \]
da cui consegue la tesi.

[anto_zoolander]

@dissonance

questa volta posso dirti io che potessi scrivere meno? Bastava considerare la definizione di funzione a gradino!

[dRic]

@anto_zoolander
grazie per la minuziosa spiegazione, ma non riesco proprio a capire il tuo ragionamento sulla funzione a gradino... ci ho provato, ma il mio cervello si disconnette... leggo le parole, ma non capisco

@dissonance
la tua dimostrazione invece mi è chiara, ed è per questo che credo di aver capito il mio problema (che è molto più banale di quello che pensassi).

Se io ho due numeri $a$ e $b$ che sono scelti arbitrariamente affinché valga la relazione:

$a - b < \epsilon \text { }\forall \epsilon > 0$

ciò non implica che $a = b$, giusto o sbagliato? Credo che il mio problema stia tutto nell'interpretare questa cosa.

[dRic]

Tra l'altro non riesco a capire un altra cosa. A me piace di più la definizione (di integrabilità):

$\text {inf} {U(f, P)} = \text {sup} {L(f, P)}$ e non riesco a capire come faccia ad essere equivalente ad $U(f, P) - L(f, P) < \epsilon$ (scusate se tralascio tutti i "per ogni" e gli intervalli)

come dice @dissonance al massimo trovo che $U(f, L) \le \epsilon $, quindi al massimo so che $\text{inf}{U(f,P)} \le \epsilon$, ma, invece, so per certo che $\text{sup} {L(f, P)} = 0$ perché $L(f, P) = 0$ sempre. Quindi come faccio a concludere che $\text {inf} {U(f, P)} = \text {sup} {L(f, P)}$ ?

Posso dire che se $\text{inf}{U(f,P)} \le \epsilon$ $\forall \epsilon > 0$ allora $U(f, P) = 0$? Non credo...

[dissonance]

"dRic":@anto_zoolander
grazie per la minuziosa spiegazione, ma non riesco proprio a capire il tuo ragionamento sulla funzione a gradino... ci ho provato, ma il mio cervello si disconnette... leggo le parole, ma non capisco

Veramente non ci ho capito niente manco io. Il fatto è che anto si mette a scrivere prima di pensare, come gli ripeto sempre. Il risultato è che non si capisce niente.

@dissonance
la tua dimostrazione invece mi è chiara, ed è per questo che credo di aver capito il mio problema (che è molto più banale di quello che pensassi).

Se io ho due numeri $a$ e $b$ che sono scelti arbitrariamente affinché valga la relazione:

$a - b < \epsilon \text { }\forall \epsilon > 0$

ciò non implica che $a = b$, giusto o sbagliato? Credo che il mio problema stia tutto nell'interpretare questa cosa.

Attenzione. Intanto, tu vuoi dire \(|a-b|<\epsilon\). Senza il valore assoluto quella differenza non significa niente; immagina per esempio \(a=0.001\) e \(b=\text{un miliardo}\).

In secondo luogo, se \(a\) e \(b\) non dipendono da \(\epsilon\), allora è vero che \(|a-b|\le \epsilon\) per ogni \(\epsilon>0\) implica che \(a=b\). Altrimenti non è vero.

[gugo82]

@dRic: Ti lascio un paio di esercizi standard sui numeri reali, tanto per chiarirti le idee sulle proprietà che vorresti usare:

Siano $a,b in RR$. Provare che:

[*:1pms5dfc] se per ogni $epsilon > 0$ risulta $a - b < epsilon$ (oppure $a - b <= epsilon$) allora $a <= b$;

[/*:m:1pms5dfc]
[*:1pms5dfc] se per ogni $epsilon > 0$ risulta $a - b > epsilon$ (oppure $a - b >= epsilon$) allora $a >= b$;

[/*:m:1pms5dfc]
[*:1pms5dfc] se per ogni $epsilon > 0$ risulta $|a - b| < epsilon$ (oppure $|a - b| <= epsilon$) allora $a = b$.[/*:m:1pms5dfc][/list:u:1pms5dfc]

Suggerimento: ragionare per assurdo.

[dRic]

Grazie @dissonace e @gugo82. Stasera risponderò ai messaggi perché sento di essere vicino, ma c'è una cosa che ancora mi sfugge

[dRic]

Scusate il ritardo. Parto con gli esercizi proposti da @gugo82 perché non sono molto pratico con queste dimostrazioni, quindi chiedo conferma.

Parto da questo:

Siano $a,b in RR$. Provare che:

• se per ogni $epsilon > 0$ risulta $a - b < epsilon$ (oppure $a - b <= epsilon$) allora $a <= b$;
  

Abbiamo verificato che per ogni $epsilon > 0$ risulta $a - b <= epsilon$. Ipotizzo, per assurdo, che $a > b$, ed in particolare prendo arbitrariamente $a = b + 2 epsilon$. In questo caso $a-b = 2 epsilon > epsilon$ che è in contrasto con la tesi.

Gli altri 2 punti penso si verifichino in maniera analoga.

[dRic]

Adesso sono apposto con la matematica, ma il mio problema è che non riesco ad immaginarmi questa cosa. Graficamente se mi metto a disegnare i rettangoli che approssimano la funzione dovrei disegnare un rettangolo che ha altezza 1 e base 0, cioè prendere i due estremi della base e farli quasi coincidere. Però se non si toccano in x=1, il segmentino sarà infinitesimo, ma non zero e quindi il rettangolo avrà area infinitesima ma non nulla... Sbaglio qualcosa?