Definizione di funzione costante
Salve
durante una prova scritta intercorso di Analisi 1 ci è stata sottoposta questa domanda:
"Quali funzioni risultano continue in un intervallo [a,b] secondo la seguente definizione? Motiva la risposta."
$ EEdelta>0$ tale che $AAepsilon>0$, se si ha $|x-x_0|<=delta$ risulta $|f(x)-f(x_0)|<= epsilon $
Ebbene, io ho risposto che, secondo tale definizione, solo le funzioni costanti di equazione $f(x)=f(x_0)$ sono continue nell'intorno del punto $x_0$, ma non ho saputo motivare la risposta a tutto l'intervallo [a,b], anche se penso che la dimostrazione valga qualunque sia $x_0 in [a,b]$...potete chiarirmi questo dubbio??
Grazie
durante una prova scritta intercorso di Analisi 1 ci è stata sottoposta questa domanda:
"Quali funzioni risultano continue in un intervallo [a,b] secondo la seguente definizione? Motiva la risposta."
$ EEdelta>0$ tale che $AAepsilon>0$, se si ha $|x-x_0|<=delta$ risulta $|f(x)-f(x_0)|<= epsilon $
Ebbene, io ho risposto che, secondo tale definizione, solo le funzioni costanti di equazione $f(x)=f(x_0)$ sono continue nell'intorno del punto $x_0$, ma non ho saputo motivare la risposta a tutto l'intervallo [a,b], anche se penso che la dimostrazione valga qualunque sia $x_0 in [a,b]$...potete chiarirmi questo dubbio??
Grazie
Risposte
Infatti, la suddetta definizione NON è la definizione corretta di continuità di una funzione, ma è stata intenzionalmente data "male" perchè, se è così posta, allora risulta che scelto un punto $x_0$ nell'intervallo chiuso [a,b], solo e soltanto la funzione costante di equazione $f(x)=f(x_0)"$ è continua nell'intervallo chiuso [a,b], e io non ho saputo spiegare il perchè in tutto l'intervallo...
Il segno di uguale in $|f(x)-f(x_0)|<=0$ implica, che preso un $epsilon$ positivo, ma comunque piccolissimo e che non dipende dal $delta$ positivo inizialmente fissato, si abbia $|f(x)-f(x_0)|=0$ , cioè $f(x)=f(x_0)$ se si ha $|x-x_0|<=delta$
...io ho ragionato in questo modo e mi piacerebbe sapere se ho dato la risposta giusta...
Il segno di uguale in $|f(x)-f(x_0)|<=0$ implica, che preso un $epsilon$ positivo, ma comunque piccolissimo e che non dipende dal $delta$ positivo inizialmente fissato, si abbia $|f(x)-f(x_0)|=0$ , cioè $f(x)=f(x_0)$ se si ha $|x-x_0|<=delta$
...io ho ragionato in questo modo e mi piacerebbe sapere se ho dato la risposta giusta...
Una funzione è continua in un punto x0 se lim x-> x0 f(x) = f(x0)
La definizione di limite dice che lim x-> x0 f(x) = f(x0) se e solo se: (con e indico epsilon e con d delta)
per tutti gli e>0 esiste un d>0 tale che |x-x0|
Almeno io la vedrei così...
La definizione di limite dice che lim x-> x0 f(x) = f(x0) se e solo se: (con e indico epsilon e con d delta)
per tutti gli e>0 esiste un d>0 tale che |x-x0|
Almeno io la vedrei così...
Ma perchè il titolo del topic è funzione costante?
Si mi sembra giusto.
Infatti se vale:
$ EE \delta > 0 $ t.c: $ AA \epsilon > 0 $ si ha $ |x-x_0|<=delta \implies |f(x)-f(x_0)|<= epsilon $
Allora è chiaro che la funzione è costante nell'intervallo:
$ [ -delta/2 + x_0 , x_0 + delta/2 ] $ (1)
Mostriamo che $AA y \in [a,b]$, $f(y)=f(x_0)$. Sia ad esempio (gli altri casi sono analoghi):
$ a \leq x_0 < y \leq b $
Allora presa la successione $x_i$ con:
$ x_i = x_{i-1} + delta/2 $
Abbiamo per la (1) che $f(x)=f(x_0)$ su:
$ \bigcup_i [ -delta/2 + x_i , x_i + delta/2 ] $
Siccome $\delta > 0$ allora $EE N=N(y)$ t.c:
$ \bigcup_i^N [ -delta/2 + x_i , x_i + delta/2 ] \sup [ -delta/2 + x_0 , y ] $
Quindi $f$ è costante su $[a,b]$.
*** EDIT ***
Piccola precisazione
Infatti se vale:
$ EE \delta > 0 $ t.c: $ AA \epsilon > 0 $ si ha $ |x-x_0|<=delta \implies |f(x)-f(x_0)|<= epsilon $
Allora è chiaro che la funzione è costante nell'intervallo:
$ [ -delta/2 + x_0 , x_0 + delta/2 ] $ (1)
Mostriamo che $AA y \in [a,b]$, $f(y)=f(x_0)$. Sia ad esempio (gli altri casi sono analoghi):
$ a \leq x_0 < y \leq b $
Allora presa la successione $x_i$ con:
$ x_i = x_{i-1} + delta/2 $
Abbiamo per la (1) che $f(x)=f(x_0)$ su:
$ \bigcup_i [ -delta/2 + x_i , x_i + delta/2 ] $
Siccome $\delta > 0$ allora $EE N=N(y)$ t.c:
$ \bigcup_i^N [ -delta/2 + x_i , x_i + delta/2 ] \sup [ -delta/2 + x_0 , y ] $
Quindi $f$ è costante su $[a,b]$.
*** EDIT ***
Piccola precisazione
Grazie per la spiegazione completa! Sei davvero un grande!
Buon Natale a tutti e felice anno nuovo!!
Giuseppe
Buon Natale a tutti e felice anno nuovo!!
Giuseppe
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