Definizione di discontinuità di terza specie
Ciao a tutti, ho un dubbio sulla discontinuità di terza specie in un punto che sia estremo di un intervallo [a,b]. Affinché a ad esempio sia un punto di discontinuità eliminabile, basta che il limite destro della funzione f(x) per x che tende ad a sia diverso da f(a), perché il limite sinistro non esiste, giusto? Il dubbio mi è sorto perché in tutte le definizioni di punti di discontinuità eliminabili che ho trovato bisogna verificare che il valore di limite destro sia uguale a quello sinistro e al contempo diverso dal valore assunto dalla funzione in quel punto. Ma negli estremi uno dei limiti manca, quindi questa definizione implicherebbe che qualsiasi funzione sia sempre discontinua negli estremi dell'intervallo di definizione e non mi sembra plausibile..
Risposte
"nereide":
Affinché $ain [a,b]$ ad esempio sia un punto di discontinuità eliminabile, basta che il limite destro della funzione $f(x)$ per $x$ che tende ad $a$ sia diverso da $f(a)$, perché il limite sinistro non esiste, giusto?
Il dubbio mi è sorto perché in tutte le definizioni di punti di discontinuità eliminabili che ho trovato bisogna verificare che il valore di limite destro sia uguale a quello sinistro e al contempo diverso dal valore assunto dalla funzione in quel punto. Ma negli estremi uno dei limiti manca, quindi questa definizione implicherebbe che qualsiasi funzione sia sempre discontinua negli estremi dell'intervallo di definizione e non mi sembra plausibile..
Qual è la definizione di continuità?
Per l'estremo a si dovrebbe parlare di continuità a destra, ,cioè il valore della funzione assunto in a deve essere uguale al limite destro. Perché questa domanda? Ho sbagliato qualcosa? Hahahha
E per una funzione definita in un intervallo $[a,b]$ ha senso parlare di $lim_(x->a^-)f(x)$ ?
No, non ha senso, per questo mi è sorto il dubbio sulla definizione che si trova in giro.
Allora, la definizione di discontinuità di terza specie è la seguente:
Se $f(x) in [a,b]$, $lim_(x-a^+)f(x)=f(a)$ la funzione è continua
Se $f(x) in [a,b]$, $lim_(x-a^+)f(x)=l$ e $f(a)nel$, $x_o=a$ è un punto di discontinuità di terza specie.
Se $f(x) in [a,b]$, non ha senso calcolare $lim_(x-a^-)f(x)$ in quanto in un intorno sinistro di $a$ la funzione non è definita!
$lim_(x->x_o) f(x)=l$ e $f(x_o) ne l$
Se $f(x) in [a,b]$, $lim_(x-a^+)f(x)=f(a)$ la funzione è continua
Se $f(x) in [a,b]$, $lim_(x-a^+)f(x)=l$ e $f(a)nel$, $x_o=a$ è un punto di discontinuità di terza specie.
Se $f(x) in [a,b]$, non ha senso calcolare $lim_(x-a^-)f(x)$ in quanto in un intorno sinistro di $a$ la funzione non è definita!
Perfetto, grazie!
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