Definizione di differenziale
Salve,
la definizione di differenziale comune sui testi come è noto è la seguente $df=f'\Deltax$
domanda:
1) a sinistra abbiamo una quantità infinitesima a destra finita!!!
poi si dice che applicando ad esempio la definizione alla particolare funzione $y=x$
si scopre che $\Deltax=dx$ cioè una quantià finita è uguale ad una finita?
2) poi si estende questo risultato ottenuto da un "caso particolare" al caso generale e si pone
$df=f' dx$ , ma come si fa a generalizzare? se usiamo una funzione diversa ad es $y=x^2$ non sarà più vero che $\Deltax=dx$.
Chiedo cortersemente un aiuto a capire.
la definizione di differenziale comune sui testi come è noto è la seguente $df=f'\Deltax$
domanda:
1) a sinistra abbiamo una quantità infinitesima a destra finita!!!
poi si dice che applicando ad esempio la definizione alla particolare funzione $y=x$
si scopre che $\Deltax=dx$ cioè una quantià finita è uguale ad una finita?
2) poi si estende questo risultato ottenuto da un "caso particolare" al caso generale e si pone
$df=f' dx$ , ma come si fa a generalizzare? se usiamo una funzione diversa ad es $y=x^2$ non sarà più vero che $\Deltax=dx$.
Chiedo cortersemente un aiuto a capire.
Risposte
Ciao credo che hai postato nella sezione sbagliata, per questo nessuno ti risponde (io non so risponderti 
)
)
Innanzitutto, non esistono quantità infinitesime in $RR$... Una delle prime dimostrazioni che si affronta è quella di provare l'implicazione:
\[
\forall \varepsilon >0,\ |x|<\varepsilon\quad \Leftrightarrow\quad x=0\; ,
\]
che mostra che in $RR$ non esistono elementi aventi la proprietà di essere infinitesimi, ossia quella di essere in valore assoluto minori di ogni numero positivo.
Poi, il differenziale cos'è?
È un'applicazione lineare $phi_{x_0}(x):=mx$ che gode della proprietà di approssimare al primo ordine la variazione della funzione attorno ad un punto $x_0$, cioè tale che:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-m(x-x_0)}{x-x_0}=0\; .
\]
Quindi gli infinitesimi non c'entrano niente di niente.
\[
\forall \varepsilon >0,\ |x|<\varepsilon\quad \Leftrightarrow\quad x=0\; ,
\]
che mostra che in $RR$ non esistono elementi aventi la proprietà di essere infinitesimi, ossia quella di essere in valore assoluto minori di ogni numero positivo.
Poi, il differenziale cos'è?
È un'applicazione lineare $phi_{x_0}(x):=mx$ che gode della proprietà di approssimare al primo ordine la variazione della funzione attorno ad un punto $x_0$, cioè tale che:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-m(x-x_0)}{x-x_0}=0\; .
\]
Quindi gli infinitesimi non c'entrano niente di niente.
Il fatto è che $dx$ non ha il signuficato di "variazione infinitesima" che si attribuisce in corsi non di analisi matematica, è solo una notazione.
Grazie tanto, penso che la mia difficltà era soprattuto nel non aver compreso che in effetti il dx non è affatto una quantità infinitesima.
Io ho letto che ci sono degli "$RR$ non standard", cioè che ammettono infinitesimi. Oppure non centra niente?
No, quella è la cosiddetta "analisi non standard" che è tutt'altra cosa...il termine "infinitesimo", (a meno che non riguardi l'ordine di infinitesimo, che ha una ben precisa definizione) non esiste in matematica e in qualsiasi altra cosa, non esiste niente di infinitesimo, ogni volta che lo hai sentito dire si è trattato di un uso improprio, invece di "infinitesimo" l'aggettivo giusto è "piccolo" (per esempio in meccanica dei continui non si dice "deformazioni infinitesime" ma "piccole deformazioni"...perché una deformazione di 4-5 mm non è di certo infinitesima...)
"Vulplasir":
Il fatto è che $dx$ non ha il signuficato di "variazione infinitesima" che si attribuisce in corsi non di analisi matematica, è solo una notazione.
A voler essere precisi mx è l'azione lineare del differenziale che nel caso unidimensionale è un numero ovvero una matrice 1x1. Confondere azione e rappresentazione potrebbe causare problemi nei successivi corsi di analisi.
eh?
Necropost significativo
"Vulplasir":
eh?
Forse non mi sono espresso bene. Vediamo un po'.
prendiamo una funzione di variabile reale a valori reali F(x).
Si dice che F è differenziabile (con abuso di linguaggio si dice derivabile) nel punto \( x_0 \in R \) se risulta
\( F(x)-F(x_0)=a(x_0)(x-x_0)+R(x,x_0) \) e \( a(x_0) \) è un'applicazione lineare da R ad R ovvero un numero reale che dipende da \( x_0 \) ed il resto R tende a zero quando diviso per \( x-x_0 \). Nel caso in cui ad esempio \( F(x)=x^2 \) è \( a(x_0)=2x_0 \). Tuttavia a volte si confonde il differenziale con il valore che si ottiene calcolando l'incremento della funzione fissato il punto \( x_0 \) o, in altri termini, si confonde \( 2x_0 \) con
\( (2x_0)x \) che fissati \( x_0 \) e \( x \) rappresenta l'azione del differenziale nel punto x (ed è lineare in x fissato \( x_0 \) ).
I testi scolastici ovviamente non sono molto chiari a riguardo e semplicemente si limitano a scrivere \( \Delta y=f'(x) \Delta x \)..
spero di essere stato chiaro. Nota che in questo caso il differenziale di F è già lineare in \( x_0 \) ma è solo un caso particolare (se \( F(x)=x^3 , a(x_0)=3x_0 ^2 \) e il differenziale non è più lineare in \( x_0 \) )
Spero di essere stato chiaro
"madmath":
Spero di essere stato chiaro
Ma anche no.
Il differenziale è """"""semplicemente"""""" una applicazione lineare con la proprietà di approssimare una differenza in maniera lineare(rette, piani,iperpiani) in un intorno del punto in considerazione.
parlarne solo mediante formalismi ne distrugge l'apprendimento del concetto
(dissonance sarà contento di quest'ultima mia affermazione
)
parlarne solo mediante formalismi ne distrugge l'apprendimento del concetto
(dissonance sarà contento di quest'ultima mia affermazione
)
"anto_zoolander":
Il differenziale è """"""semplicemente"""""" una applicazione lineare con la proprietà di approssimare una differenza in maniera lineare(rette, piani,iperpiani) in un intorno del punto in considerazione.
parlarne solo mediante formalismi ne distrugge l'apprendimento del concetto
(dissonance sarà contento di quest'ultima mia affermazione
in questo caso "proprietà di approssimare una differenza in maniera lineare" non è meno oscuro del (minimo) formalismo con esempio da me riportato. Ma forse è una questione emotiva, sentimentale. pazienza.
"gugo82":
[quote="madmath"]Spero di essere stato chiaro
Ma anche no.[/quote]
Come dico ai miei studenti (delle superiori o triennale o specialistica quando tengo seminari per la preparazione degli esami) : quando non capisci qualcosa specifica quanto più precisamente i tuoi dubbi in merito ai termini,ai concetti agli esempi e quant'altro non ti sia chiaro e come lo avresti riferito "con le tue parole". In caso contrario non riesco a comprendere le tue lacune e aggiustare di conseguenza le risposte.
La maggioranza degli studenti, inutile ribadirlo, non è in grado di riferire efficacemente in merito. Anche per problemi sentimentali, vissuti psicologici ecc. Ma io non sono né un assistente sociale né un terapeuta, tanto per capirci.
"madmath":
[quote="gugo82"][quote="madmath"]Spero di essere stato chiaro
Ma anche no.[/quote]
Come dico ai miei studenti (delle superiori o triennale o specialistica quando tengo seminari per la preparazione degli esami) : quando non capisci qualcosa specifica quanto più precisamente i tuoi dubbi in merito ai termini,ai concetti agli esempi e quant'altro non ti sia chiaro e come lo avresti riferito "con le tue parole". In caso contrario non riesco a comprendere le tue lacune e aggiustare di conseguenza le risposte.
La maggioranza degli studenti, inutile ribadirlo, non è in grado di riferire efficacemente in merito. Anche per problemi sentimentali, vissuti psicologici ecc. Ma io non sono né un assistente sociale né un terapeuta, tanto per capirci.[/quote]
Beh, aspetta, allora lo scrivo meglio.
I miei non sono dubbi in merito ai termini, ai concetti, agli esempi o a quant'altro[nota]Che poi "quanto" è questo "altro" nessuno l'ha ancora capito[/nota]... È proprio che, a mio modesto modo di vedere[nota]Acuito da una decina d'anni di partecipazione a questo e ad altri forum.[/nota], hai scritto un post coi piedi.
Così è più chiaro?
Inoltre, anche io, quando parlo coi miei studenti[nota]Di ogni ordine e grado: delle superiori o dell'università, ma anche dell'asilo nido, del corso di rutti sportivi, del master di II livello in elencazione inutile di titoli ed incarichi accademici...[/nota], li invito a formalizzare bene le osservazioni ed a descrivere puntualmente i loro dubbi...
Tuttavia, espressamente dico pure: "Quando vi sembra che stia dicendo una cazzata, fermatemi e ditemi: -Prof, ma che cavolo stai dicendo?- perché è molto probabile che anche io, come tutti gli esseri umani, stia commettendo un errore o non mi stia spiegando bene...".
Buona creanza ed intelligenza vorrebbero che, prima di salire in cattedra e di cominciare a parlare di "lacune" o tirare la morale sul "vissuto psicologico" e lo "psicoterapeuta", un utente andasse a capire con chi si sta confrontando.
Ciò, su un forum, si fa spulciando i vari post inseriti dall'interlocutore... Vero è che nel mio caso i post sono tanti e forse non ti è stato facile farti un quadro completo, ma non preoccuparti: sono cose che capitano.
A questo punto, tanto per capirci, mi pare opportuno ricoprire il ruolo del prete che impartisce indulgentemente
l'assoluzione e dice (citando il Vangelo): Va’, e non peccare più.
non è più chiaro, soprattutto se offendi le persone che gratuitamente cercando di aiutare gli altri qui. Se è scritto con i piedi (perchè i tuoi post non dovrebbero essere tali?) occorre specificare esattamente cosa cambiare e perché.
Io non mi permetto di giudicare in questo modo.
Quando ho chiesto in merito intendevo proprio cercare di capire le perprlessità e i dubbi di chi chiedeva informazioni.
Come del resto si fa in classe a scuola, quando possibile. E all'università se si è fortunati (a ignegneria a cesena molti studenti giocano alla psp nelle ultime file..tanto per capirci durante le lezioni di analisi matematica primo e secondo anno...testimone il sottoscritto).
Quindi torno a chiedere cosa dovrebbe andare modificato e perché, rispetto agli altri interventi simili. Poi sia chiaro: dipende anche dall'interesse e dal fine ultimo che si vuole raggiungere (il sei a scuola pur non avendo interesse, approfondimento ecc.)
E sì, le motivazioni psicologiche e i vissuti fanno parte dei dubbi e delle motivazioni dei miei studenti a scuola. Lo vedo io come lo vedono tutti gli altri miei colleghi.
A presto.
Io non mi permetto di giudicare in questo modo.
Quando ho chiesto in merito intendevo proprio cercare di capire le perprlessità e i dubbi di chi chiedeva informazioni.
Come del resto si fa in classe a scuola, quando possibile. E all'università se si è fortunati (a ignegneria a cesena molti studenti giocano alla psp nelle ultime file..tanto per capirci durante le lezioni di analisi matematica primo e secondo anno...testimone il sottoscritto).
Quindi torno a chiedere cosa dovrebbe andare modificato e perché, rispetto agli altri interventi simili. Poi sia chiaro: dipende anche dall'interesse e dal fine ultimo che si vuole raggiungere (il sei a scuola pur non avendo interesse, approfondimento ecc.)
E sì, le motivazioni psicologiche e i vissuti fanno parte dei dubbi e delle motivazioni dei miei studenti a scuola. Lo vedo io come lo vedono tutti gli altri miei colleghi.
A presto.
"anto_zoolander":
Il differenziale è """"""semplicemente"""""" una applicazione lineare con la proprietà di approssimare una differenza in maniera lineare(rette, piani,iperpiani) in un intorno del punto in considerazione.
parlarne solo mediante formalismi ne distrugge l'apprendimento del concetto
(dissonance sarà contento di quest'ultima mia affermazione
Non so quale sia il livello di contentezza di dissonance, nel mio caso apprezzo gli sforzi fatti.
Nel merito, tieni presente che per dare una definizione "scevra di formalismi" occorre avere idee ben chiare, soprattutto su quali siano i punti fondamentali. Tu ne metti in evidenza uno (la ricerca di una approssimazione lineare), ma ne trascuri(*) un altro, non certo di poco rilievo(**). Ovvero, vogliamo una "buona" approssimazione lineare. E cioè che l'errore che commettiamo sia di "ordine superiore". Forse per te dire "approssimazione" vuol dire "buona approssimazione", ma nel linguaggio informale in uso tra matematici non è una buona idea usarle come sinonimi (direi che qualunque funzione approssima qualunque altra funzione, se non si precisa qualcosa sulla "bontà" della approssimazione)
[size=80]PS: gugo82 è troppo buono, sarebbe il caso di prendere qualche provvedimento nei suoi confronti[/size]
(*) [size=90]sei tanto concentrato sul "primo punto fondamentale" che fai una inutile ripetizione: che una roba lineare sia lineare dovrebbe essere abbastanza ovvio[/size]
(**) [size=90]tant'è che è grazie al "secondo punto fondamentale" che possiamo dimostrare l'unicità del differenziale (si intende, se esiste, e sotto le usuali condizioni, tipo che $x_0$ sia di accumulazione...)[/size]
@fioravante
Ho una brutta capacità di sintesi e se avessi cominciato a scrivere quello che penso in merito avrei tenuto un monologo che non avrebbe letto nessuno.
L’apprezzamento non è rivolto allo spessore del contento, avrei potuto fare di meglio, ma al fatto che non mi sia prolungato
[size=85]sono sempre uno studente del secondo anno[/size]
Ho una brutta capacità di sintesi e se avessi cominciato a scrivere quello che penso in merito avrei tenuto un monologo che non avrebbe letto nessuno.
L’apprezzamento non è rivolto allo spessore del contento, avrei potuto fare di meglio, ma al fatto che non mi sia prolungato
[size=85]sono sempre uno studente del secondo anno[/size]
sono sempre uno studente del secondo anno
Ma la schiena viene su dritta se li prendi da bambini.
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo