Definizione di differenziale

[Plepp]

Ho sempre pensato al differenziale di una funzione $f:A\subseteq RR\to RR$ nel punto $x_0$ come l'applicazione (lineare) $\text{d}f_{x_0}$ definita ponendo $\forall h\in RR$, $\text{d}f_{x_0}(h): =f'(x_0)h$, e questa è anche la definizione che ha fornito il mio Prof. a lezione.

Acerbi-Buttazzo, Primo corso di Analisi matematica, invece, inizia il capitolo sulla derivabilità con questa definizione:

"Acerbi-Buttazzo":
Se $x_0$ è un punto del dominio di $f$ ed è anche di accumulazione per il dominio stesso, si dice che $f$ è differenziabile in $x_0$ se esiste $\alpha\in RR$ tale che
\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)-\alpha(x-x_0)}{|x-x_0|}=0\]
Il numero reale $\alpha$ viene chiamato differenziale di $f$ nel punto $x_0$ e viene indicato col simbolo $\text{d}f(x_0)$

e successivamente dimostra, dopo aver definito la derivata in $x_0$, che $\text{d}f(x_0)=f'(x_0)$.

Insomma, mentre nel primo caso il differenziale è la funzione $f'(x_0)h$, ovvero $f'(x_0)(x-x_0)$, per quest'ultima definizione la derivata e il differenziale risultano essere la stessa cosa (numeri, tra l'altro).

Che relazione c'è tra le due definizioni?

[Sk_Anonymous]

Credo che tu possa pensare alla derivata come ad una forma lineare di matrice \(\displaystyle 1 \times 1 \), se ho capito il tuo dubbio: in dimensione \(\displaystyle 1 \) infatti la derivata ed il differenziale sono concetti coincidenti.

[Plepp]

No no. Non è questo il punto...per la prima definizione, il differenziale in $x_0$ è una funzione dell'incremento $h$, dunque un qualcosa che varia. Per la seconda, fissato $x_0$, il differenziale è costante, un numero insomma. Mi sfugge qualcosa? :/

EDIT: ah aspetta, forse mi stai dicendo che mentre la prima definizione chiama differenziale l'applicazione lineare, la seconda chiama differenziale la matrice associata ad essa rispetto alle basi canoniche?

[Sk_Anonymous]

"Plepp":[...]
EDIT: ah aspetta, forse mi stai dicendo che mentre la prima definizione chiama differenziale l'applicazione lineare, la seconda chiama differenziale la matrice associata ad essa rispetto alle basi canoniche?

Secondo me è così. In dimensione \(\displaystyle 1 \), come detto sopra, la matrice associata al differenziale è di dimensione \(\displaystyle 1 \times 1 \), e quindi è uno scalare (in realtà la trasformazione lineare stessa non è che la moltiplicazione per uno scalare).

[Plepp]

Che figata in effetti mi pare l'unica spiegazione plausibile! Grazie Del