Definizione di differenziabilità
Riporto dal Bramanti-Pagani-Salsa "Analisi Matematica" volume 2 pag. 125
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Il concetto analogo è quello di differenziabilità in più variabili: l'incremento di f è uguale all'incremento calcolato lungo il piano tangente, più un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla lunghezza dell'incremento (h,k) delle variabili indipendenti. In formule:
\( f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0,y_0) = \frac{\partial f}{\partial x} (x_0,y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_o,y_0) (y-y_0) + o(\sqrt{h^2 + k^2}) \)
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Non dovrebbe essere
\( f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0,y_0) = \frac{\partial f}{\partial x} (x_0,y_0)h + \frac{\partial f}{\partial y}(x_o,y_0) k + o(\sqrt{h^2 + k^2}) \)
oppure
\( f(x, y) - f(x_0,y_0) = \frac{\partial f}{\partial x} (x_0,y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_o,y_0) (y-y_0) + o(\sqrt{h^2 + k^2}) \)
? Perchè se così non fosse mi sa che ho capito male il concetto. Cioè x non è \( x = x_0+h \) e \( y=y_0+k \) ?
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Il concetto analogo è quello di differenziabilità in più variabili: l'incremento di f è uguale all'incremento calcolato lungo il piano tangente, più un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla lunghezza dell'incremento (h,k) delle variabili indipendenti. In formule:
\( f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0,y_0) = \frac{\partial f}{\partial x} (x_0,y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_o,y_0) (y-y_0) + o(\sqrt{h^2 + k^2}) \)
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Non dovrebbe essere
\( f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0,y_0) = \frac{\partial f}{\partial x} (x_0,y_0)h + \frac{\partial f}{\partial y}(x_o,y_0) k + o(\sqrt{h^2 + k^2}) \)
oppure
\( f(x, y) - f(x_0,y_0) = \frac{\partial f}{\partial x} (x_0,y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_o,y_0) (y-y_0) + o(\sqrt{h^2 + k^2}) \)
? Perchè se così non fosse mi sa che ho capito male il concetto. Cioè x non è \( x = x_0+h \) e \( y=y_0+k \) ?
Risposte
"raffamaiden":
Non dovrebbe essere
\( f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0,y_0) = \frac{\partial f}{\partial x} (x_0,y_0)h + \frac{\partial f}{\partial y}(x_o,y_0) k + o(\sqrt{h^2 + k^2}) \)
Esatto.
Grazie!
ragazzi scusate sono nuova e nn ho ben capito come funziona il forum pertanto scrivo quì spero tanto possiate aiutarmi voi!!!! magari la mia domanda è un pò banale ma nn riesco a darmi una risposta, sapreste spiegarmi perchè nelle definizioni o anche nei teoremi di differenziabilità il punto deve essere interno? se fosse di frontiera cosa succede? grazie mille e scusate ancora l'intrusione
"mramona":
ragazzi scusate sono nuova e nn ho ben capito come funziona il forum pertanto scrivo quì spero tanto possiate aiutarmi voi!!!! magari la mia domanda è un pò banale ma nn riesco a darmi una risposta, sapreste spiegarmi perchè nelle definizioni o anche nei teoremi di differenziabilità il punto deve essere interno? se fosse di frontiera cosa succede? grazie mille e scusate ancora l'intrusione
Considera una funzione \( f: [0,1] \to \mathbb{R} \). Per calcolare la derivata nel punto \( x=1 \) (punto di frontiera) usiamo la definizione:
\( \displaystyle f'(1) = lim_{h \to 0} \left( \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \right) \)
Non noti niente che non va?
ora credo di aver capito, in 1+h la funzione nn è definita, essendo 1 punto di frontiera troverò sempre un punto nell'intorno in cui la funzione nn è definita pertanto neanche il limite del rapporto incrementale. giusto?
"mramona":
ora credo di aver capito, in 1+h la funzione nn è definita, essendo 1 punto di frontiera troverò sempre un punto nell'intorno in cui la funzione nn è definita pertanto neanche il limite del rapporto incrementale. giusto?
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