Definizione di derivata e suo significato geometrico
Si dice sempre che la derivata di una funzione $ f $ in un punto $ x $ (del suo dominio) è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto $ (x,f(x)) $
Nelle spiegazioni compare sempre un disegno simile a questo
"Derivative - geometric meaning" di Vonvikken - Opera propria. Con licenza CC BY-SA 3.0 tramite Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File: ... eaning.svg
Si dice che quando l'intervallo $ Delta x $ tende a $ 0 $ , operazione che fa parte della definizione di derivata, la retta che prima era secante diventa tangente.
Il problema è che il termine "tangente" non è mai stato definito e che l'operazione di limite non prevede un' idea di movimento, di rette o di punti che si spostano.
Inoltre non è possibile spiegare un concetto con un disegno, perché ci sono un'infinità di funzioni il cui grafico non si può disegnare neanche in modo approssimativo, però sono comunque derivabili (anche una volta sola) e il discorso deve valere anche per esse.
Sarebbe più sensato definire formalmente la derivata (cosa che viene fatta sempre), definire formalmente cosa si intende per retta tangente (mai trovato da nessuna parte) e dimostrare che sono uguali.
Qualcun altro ha avuto questi dubbi ?
Nelle spiegazioni compare sempre un disegno simile a questo
"Derivative - geometric meaning" di Vonvikken - Opera propria. Con licenza CC BY-SA 3.0 tramite Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File: ... eaning.svg
Si dice che quando l'intervallo $ Delta x $ tende a $ 0 $ , operazione che fa parte della definizione di derivata, la retta che prima era secante diventa tangente.
Il problema è che il termine "tangente" non è mai stato definito e che l'operazione di limite non prevede un' idea di movimento, di rette o di punti che si spostano.
Inoltre non è possibile spiegare un concetto con un disegno, perché ci sono un'infinità di funzioni il cui grafico non si può disegnare neanche in modo approssimativo, però sono comunque derivabili (anche una volta sola) e il discorso deve valere anche per esse.
Sarebbe più sensato definire formalmente la derivata (cosa che viene fatta sempre), definire formalmente cosa si intende per retta tangente (mai trovato da nessuna parte) e dimostrare che sono uguali.
Qualcun altro ha avuto questi dubbi ?
Risposte
l'idea di movimento potresti averla considerando il punto $(x,f(x))$ che si muove lungo la curva, e ad ogni minimo spostamento della $x$(generica) sull'asse delle ascisse corrisponde uno spostamento del punto, questo fino a che il rapporto incrementale (differenza dei punti sulle ascisse e dei punti sulle ordinate) non tende a zero e il punto generico$P$ si avvicina al punto $P_0$ indefinitamente. il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della corda che unisce i punti $(P,P_0)$ quando i due punto sono indefinitamente vicini allora la corda tende ad assumere la posizione della retta $t$ tangente al grafico nel punto $x_0$. l'idea di movimento c'è e l'interpretazione grafica penso sia valida per capirne il concetto...
@Valerio80: Hai ragione, e infatti proprio considerazioni come la tua hanno dato impulso alla formalizzazione dell'analisi matematica moderna. Parliamo del XIX secolo. Oggi le definizioni vanno al contrario: si comincia definendo l'operazione di derivazione, e in termini di quella si definisce il concetto di "tangenza".
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