Definizione di derivata direzionale
Devo dare una risposta esauriente alla consegna: Scrivere la definizione di derivata direzionale.
Domanda: la derivata direzionale è un concetto esteso della derivata prima su una funzione $f(x,y)$,
quindi per arrivare alla definizione posso partire dal concetto di limite del rapporto incrementale?
grazie.
Domanda: la derivata direzionale è un concetto esteso della derivata prima su una funzione $f(x,y)$,
quindi per arrivare alla definizione posso partire dal concetto di limite del rapporto incrementale?
grazie.
Risposte
Non ti sta chiedendo di arrivare alla definizione, ma solo la definizione. Io scriverei solamente la definizione di derivata direzionale.
Difficilmente mi ricordo una definizione secca, mi ricordo bene la definizione della derivata di una funzione ad una variabile $f(x)$
si può arrivare alla definizione di derivata direzionale partendo dalla derivata per $f(x)$?
si può arrivare alla definizione di derivata direzionale partendo dalla derivata per $f(x)$?
io proverei ad arrivarci dalla definizione di derivata parziale ( di funzione di più variabili).
P.s. : anzi terrei presente una funzione a valori vettoriali, visto che la parola direzionale mi rammenta i vettori.
P.s. : anzi terrei presente una funzione a valori vettoriali, visto che la parola direzionale mi rammenta i vettori.
esendo la derivata di una funzion $f(x)$ intesa come il limite del rapporto incrementale:
$(f(x_0+h)-f(x_0))/h$ quindi l'incremento del valore della funzione diviso l'incremento della variabile
se esiste ed è finito $lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h$ si ha la derivata.
In una funzione a due variabili, $f(x,y)$ presumo si prenda in considerazione l'incremento o decremento (h) di una variabile per volta,
quindi $lim_(h->0)(f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0))/h$ si può parlare di derivata direazionale?
$(f(x_0+h)-f(x_0))/h$ quindi l'incremento del valore della funzione diviso l'incremento della variabile
se esiste ed è finito $lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h$ si ha la derivata.
In una funzione a due variabili, $f(x,y)$ presumo si prenda in considerazione l'incremento o decremento (h) di una variabile per volta,
quindi $lim_(h->0)(f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0))/h$ si può parlare di derivata direazionale?
Se fai un incremento di una variabile per volta ottieni le derivate parziali, e non la derivata direzionale. Per la generica derivata direzionale devi fissare una direzione $v \in \RR^n$ e fare $\lim_{h \to 0}\frac{f((x_0,y_0)+hv)-f(x_0,y_0)}{h}$.
quindi con la derivata direzionale si prende in considerazione l'incremento delle variabili partendo da $x_0,y_0$.
$v$ è il versore quindi indica il verso, protrebbe essere $v= ( (1 ),(0) , (0) ) $ ed $h$ è sempre l'incremento.
prima avevamo la funzione calcolata in $x_0$ e poi in $x_0+h$
ora $x_0,y_0$ e poi in $(x_0,y_0)+hv$
quindi ne deduco che $(x_0,y_0)+hv$ sia un punto, o sbaglio?
$v$ è il versore quindi indica il verso, protrebbe essere $v= ( (1 ),(0) , (0) ) $ ed $h$ è sempre l'incremento.
prima avevamo la funzione calcolata in $x_0$ e poi in $x_0+h$
ora $x_0,y_0$ e poi in $(x_0,y_0)+hv$
quindi ne deduco che $(x_0,y_0)+hv$ sia un punto, o sbaglio?
Non necessariamente $v$ è un versore, può essere un vettore qualunque. Ovviamente $(x_0,y_0)+hv$ è ancora un punto, o vettore come preferisci, come anche lo era $(x_0+h,y_0)$ nel caso della derivata parziale rispetto a $x$ (che ottieni dalla derivata direzionale ponendo $v=(1,0)$).
Definizione:
$A sube RR^n -> RR, X_0 in A$
$D_vf(x_0)=lim_(h->0)(f(x_0+hv)-f(x_0))/h$ purché esista e sia finito.
non ho capito bene $D_vf(x_0)$ cosa sta a significare.
$A sube RR^n -> RR, X_0 in A$
$D_vf(x_0)=lim_(h->0)(f(x_0+hv)-f(x_0))/h$ purché esista e sia finito.
non ho capito bene $D_vf(x_0)$ cosa sta a significare.
Sta proprio a sigificare che quella è la derivata nella direzione del vettore $v$ della funzione $f $ nel punto $x_0$.
Perfetto ora mi è tutto chiaro
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