Definizione di continuità - Analisi 2
Buonasera, la mia professoressa ha enunciato il seguente Teorema:
1) $f$ continua in $D$ sse la controimmagine $f^{-1}(A)$ di ogni aperto, non vuoto di $\mathbb{R}$ (ossia $A$) è un insieme aperto in $D$ $\to$ $f^{-1}(A) = U \cap D$ aperto di $\mathbb{R}^n$
Non riesco proprio ad afferrarne il senso
Ha enunciato anche quello per gli insiemi chiusi:
$f$ continua in $D$ sse la controimmagine $f^{-1}(C)$ di ogni chiuso, non vuoto di $\mathbb{R}$ (ossia $C$) è un insieme chiuso in $D$.
Grazie dell'aiuto, buona serata.
1) $f$ continua in $D$ sse la controimmagine $f^{-1}(A)$ di ogni aperto, non vuoto di $\mathbb{R}$ (ossia $A$) è un insieme aperto in $D$ $\to$ $f^{-1}(A) = U \cap D$ aperto di $\mathbb{R}^n$
Non riesco proprio ad afferrarne il senso
Ha enunciato anche quello per gli insiemi chiusi:
$f$ continua in $D$ sse la controimmagine $f^{-1}(C)$ di ogni chiuso, non vuoto di $\mathbb{R}$ (ossia $C$) è un insieme chiuso in $D$.
Grazie dell'aiuto, buona serata.
Risposte
Chiama un sottoinsieme \( A \) di \( \mathbb R^n \) "aperto" se, per ogni \( x\in A \), c'è una palla aperta di centro \( x \) totalmente contenuta in \( A \). Inoltre, se \( D\subset \mathbb R^n \) si dice che un sottoinsieme \( A \) di \( D \) è "aperto rispetto a \( D \) se esiste un aperto \( A^\prime \) di \( \mathbb R \) tale che \( A = D\cap A^\prime \). (Ci sono vari modi perché la gente fa questo, se non ti è chiaro geometricamente dillo).
La definizione che ha dato la tua professoressa è equivalente alla, e spesso più comoda della, definizione seguente: \( f\colon D\to \mathbb R\) è "continua" se è continua in ogni punto \( x \) del suo dominio, dove "continua in \( x \)" significa che preso un \( \epsilon > 0 \) c'è un \( \delta > 0 \) tale che ogniqualvolta \( \xi\in D \) e \( \lVert \xi - x\rVert < \delta \) si ha anche \( \lVert f(\xi) - f(x) \rVert < \epsilon \).
La definizione che ha dato la tua professoressa è equivalente alla, e spesso più comoda della, definizione seguente: \( f\colon D\to \mathbb R\) è "continua" se è continua in ogni punto \( x \) del suo dominio, dove "continua in \( x \)" significa che preso un \( \epsilon > 0 \) c'è un \( \delta > 0 \) tale che ogniqualvolta \( \xi\in D \) e \( \lVert \xi - x\rVert < \delta \) si ha anche \( \lVert f(\xi) - f(x) \rVert < \epsilon \).
"francyiato":
...
Non riesco proprio ad afferrarne il senso
...
È la distillazione del teorema di permanenza del segno
Grazie della risposta, mi sono fatto una mia idea a livello geometrico, ma non sicuro che sia giusta quindi se potesse spiegarmelo gliene sarei grato.
Quando dice
Perché noi sappiamo che $A$ è un insieme aperto se $\forall x \in A$ esiste un intorno $I_r(x) \subset A$. Con quel "rispetto a D" sta forse dicendo che $A$ è un insieme aperto rispetto a D se $\forall x \in A$ esiste un intorno $I_r(x) \subset D$?
Spero di non aver detto troppe cavolate.
Grazie e buona serata.
Quando dice
"marco2132k":che cosa intende con quel "aperto rispetto a D"?
si dice che un sottoinsieme A di D è "aperto rispetto a D
Perché noi sappiamo che $A$ è un insieme aperto se $\forall x \in A$ esiste un intorno $I_r(x) \subset A$. Con quel "rispetto a D" sta forse dicendo che $A$ è un insieme aperto rispetto a D se $\forall x \in A$ esiste un intorno $I_r(x) \subset D$?
Spero di non aver detto troppe cavolate.
Grazie e buona serata.
Non ho capito se ti rivolgi a me. Nel caso, posso rimpolpare un poco la mia risposta. Poco poco, q.b.
Il teorema di permanenza del segno mi dice che la controimmagine della semiretta dei reali positivi è un insieme il quale ha la curiosa proprietà di contenere un intorno di ogni suo punto. Ovvero un insieme aperto (si è convenuto di usare questo termine, chiamarlo insieme cocomero non sarebbe stata una grande idea)
Questo è, a mio parere, la "scintilla" che ci fa immaginare la possibilità di passare dagli epsilon&delta al linguaggio degli aperti.
Il teorema di permanenza del segno mi dice che la controimmagine della semiretta dei reali positivi è un insieme il quale ha la curiosa proprietà di contenere un intorno di ogni suo punto. Ovvero un insieme aperto (si è convenuto di usare questo termine, chiamarlo insieme cocomero non sarebbe stata una grande idea)
Questo è, a mio parere, la "scintilla" che ci fa immaginare la possibilità di passare dagli epsilon&delta al linguaggio degli aperti.
L'hai detto tu all'inizio mi pare. Dici che \( f\colon D\to \mathbb R \) è continua se e solo se per ogni aperto \( V \) di \( \mathbb R \) la controimmagine \( f^{-1}(V) \) è aperta in \( D \).
Il punto è questo: un sottoinsieme \( A \) di \( D \) può essere "aperto" nel senso che per ogni \( x\in A \) esiste una palla di raggio \( \epsilon \), per qualche \( \epsilon > 0 \)
\[
B(x,\epsilon) = \{\xi\in \mathbb R^n : \lVert \xi - x\rVert < \epsilon \}
\] tale che \( B(x,\epsilon)\subset A \); oppure, può essere "aperto rispetto a[lla topologia indotta da \( \mathbb R \) su] \( D \)" nel senso che esiste un aperto \( A^\prime \) di \( \mathbb R \) tale che \( A = D\cap A^\prime \). Questo ha senso, se ci pensi: significa che un sottoinsieme \( A \) di \( D \) è aperto se per ogni \( x\in A \) esiste una "palla di \( D \)"
\[
B_D(x,\epsilon) = \{\xi\in D : \lVert \xi - x\rVert < \epsilon \}
\] completamente contenuta in \( A \), per qualche \( \epsilon > 0 \).
Le due cose non sono equivalenti. Pensa al quadrato \( D = \left]0,1\right]\times \left]0,1\right] \) in \( \mathbb R^2 \) che contiene i lati superiore e destro: un suo sottoinsieme \( A \), aperto rispetto alla topologia indotta, può non essere aperto rispetto alla topologia di \( \mathbb R^2 \). (Se "aperto" significa "che non contiene il bordo", prendi per \( A \) il triangolo che ha per lato lungo la diagonale [esclusa] e per lati corti i lati del quadrato che stanno in \( D \)).
@Fioravante Patrone Non l'avevo mai pensato così, carino.
Il punto è questo: un sottoinsieme \( A \) di \( D \) può essere "aperto" nel senso che per ogni \( x\in A \) esiste una palla di raggio \( \epsilon \), per qualche \( \epsilon > 0 \)
\[
B(x,\epsilon) = \{\xi\in \mathbb R^n : \lVert \xi - x\rVert < \epsilon \}
\] tale che \( B(x,\epsilon)\subset A \); oppure, può essere "aperto rispetto a[lla topologia indotta da \( \mathbb R \) su] \( D \)" nel senso che esiste un aperto \( A^\prime \) di \( \mathbb R \) tale che \( A = D\cap A^\prime \). Questo ha senso, se ci pensi: significa che un sottoinsieme \( A \) di \( D \) è aperto se per ogni \( x\in A \) esiste una "palla di \( D \)"
\[
B_D(x,\epsilon) = \{\xi\in D : \lVert \xi - x\rVert < \epsilon \}
\] completamente contenuta in \( A \), per qualche \( \epsilon > 0 \).
Le due cose non sono equivalenti. Pensa al quadrato \( D = \left]0,1\right]\times \left]0,1\right] \) in \( \mathbb R^2 \) che contiene i lati superiore e destro: un suo sottoinsieme \( A \), aperto rispetto alla topologia indotta, può non essere aperto rispetto alla topologia di \( \mathbb R^2 \). (Se "aperto" significa "che non contiene il bordo", prendi per \( A \) il triangolo che ha per lato lungo la diagonale [esclusa] e per lati corti i lati del quadrato che stanno in \( D \)).
@Fioravante Patrone Non l'avevo mai pensato così, carino.
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